Растущая Земля: из планет в звёзды (стр. 66 )

их изменения на увеличивающейся сфере радиуса R.. Но чтобы приступить к решению сферических тре -

угольников, предварительно назначаются линейные

поправки М i к длинам меридианов и поправки П i k к Рис. 2п. Типичный сфе-

линейным расстояниям между основными станциями. рический треугольник

Поправки назначаются, исходя из скорости раскрытия для вычисления коорди-

зон, признаков рассеянного спрединга с учетом скорости нат станций

растяжения земной коры.

Выделение основных станций обусловлено тем, что для неизменя-емого континента две станции на нем определяют координаты остальных станций, которые названы промежуточными. Если же вводится несколько основных станций, то это равносильно некоторому латеральному деформированию континента. В приведенном расчете основные станции в количестве более двух были назначены в Евразии и в С. Америке. Координаты промежуточных станций вычисляются в зависимости от основных.

При вычислении координат решение сферических треугольников осуществляется путем применения известных формул сферической тригонометрии: для вычисления координат точки i на бóльшей сфере необходимо, чтобы были известны координаты точки k.

III. Операции на большей сфере радиуса R.

Вычисления начинаются с совмещения полюсов N и направлений на Гринвич для начальной у увеличенной сфер. Затем вычисляется изменение полярной широты Гринвича с учетом геофизической поправки Мi на изменение длины меридиана от N-полюса до Гринвича по формуле:

d Мi /dt – φ i (dR / dt)

dθi /dt = ––––––––––––––––– . (2п)

R н

Измененная полярная широта Гринвича определяется из выражения, в котором Δt = 1 году.

θ i = φ i + (dθi /dt ) Δt (3п)

Приложение 1. Изменение координат станций … 251

Специфика двухуровневой модели выражается в том, что реальные (расчетные) деформации существуют только на большей сфере. Если же эти деформации переносятся на меньшую сферу, то их следует рассматривать в качестве кажущихся (редуцированных).

Скорости линейных изменений широт (кажущиеся) определяются из выражения

dЕi /dt = R н (dθi /dt) /4п/

Эти изменения являются редуцированными (кажущимися), так как они определяются по отношению к начальной сфере, которая уже не существу-ет в конечную эпоху; на увеличенной сфере величина dЕi /dt является лишь частью линейных изменений. Вычисление этой величины, сопря-женной с dθi/dt, вызвано тем, что она, обычно, фигурирует в инстру-ментальных измерениях, ориентированных на неизменную сферу и плейттектонические построения. Скорости изменения линейных рассто-яний на увеличенной сфере определяется величинами dМi /dt и dП i k/dt, задаваемыми и существенно отличающимися от dЕi / d t.

Формулы /2п, 3п, 4п/ применяются не только для Гринвича, но и для всех намеченных станций. Долгота Гринвича принимается равной нулю (L1 = 0). Для определения долготы станций на увеличенной сфере вычисляются сначала годичные приращения угловых расстояний dQik/dt между станциями i и к.

dП i k / dt – qi k (dR /dt)

dQi k /dt = –––––––––––––––––––– (5п)

R

Затем определяются угловые расстояния (центральные углы) между станциями при Dt = 1.

Q i k = qik + (dQi k / dt ) Δt (6п)

После этого вычисляются разности долгот между станциями. qi k.

соs Q ik – соs θi · соs θ k

ΔΛi k = Λk – Λi = arccos{–––––––––––––––––––} (7п)

sin θi · θi sin θk

Из выражения (7п) вычисляются долгота станции Lк при известной долготе (сначала для Гринвича, а затем последовательно для других станций).

Lк = + D L i k (8п)

Скорости изменения долгот на увеличенной сфере находятся из выра-жения (9п), в котором Dt = 1 году

(Li – λ i)

dLi / dt = ––––––––– . (9п)

Dt

Приэтом годчные линейные смещения станций вдоль араллелей dДi/dt и изме-нения расстояний dК i k / dt между пунктами триангуляционной

252 Приложение 1 . Изменение координат станций … .

нения расстояний dК i k / dt между пунктами триангуляционной сети определя-ются по формулам:

dДi /dt = Rн (d Λi /dt)sinφi; Кi к = Rн (dQi k /dt) . (10п)

IV. Промежуточные станции

Определения координат промежуточных станций на увеличенной сфере выполняется по уже известным координатам основных станций. Координаты промежуточных пунктов вычисляются путем решения систе-мы двух сферических треугольников (рис. 3п), в которых известны коорди-наты трех пунктов (i, к, полюс N) и три стороны (iN = qi, KN = qк, iк = qiк).

Рис. 3п. Система сферических треугольников для вычисления координат промежуточной точки т по известным координатам

точек i и k.

Для определения координат пункта т необходимо вычислить сторону (дугу) qm в системе сферических треугольников и угол DLmк – разность долгот между станциями m и к. Чтобы получить qm и DLm к, вычисляются сначала углы a и b по рис. 3п.

сos θi – cos qki · cos θk

a = arccos{–––––––––––––––––––} (11п)

sin θk · θi sin qki

сos qmi – cos qкm · cos qiк

b = arccos{––––––––––––––––––––––} (12п)

sin qmk · θi sin qki

В выражениях (11п) и (12п) центральные углы qmi и qmк определя-ются с использованием формул (1п, 5п, 6п) при нулевых или заданных

поправках Пik на континентах и в межконтинентальных зонах.

Разность долгот DLmк определяется из выражения:

sin(a + b)

DLmк = arctg{–––––––––––––––––––––––––––} . (13п)

sin θk·ctg qmk – cos θk·cos(a + b)

Приложение 1. Изменение координат станций … 253

Формула для долготы пункта m, согласно рис. 3п, имеет вид:

Lm = Lк – DLmк. (14п)

Полярная широта этого же пункта может быть определена двояко:

sin qmk·sin(a + b)

qm = arcsin {–––––––––––––––––} , (15п)

sinDLmк

qm = arcсos [сosqmk ·cos θk + sin qmk·sin θk·cos(a + b)]. (16п)

Если понадобится определить разность долгот DLim и полярную широту qm промежуточной точки m с исполь-зованием углов g и d (рис. 3п),можно воспользоваться выражениями аналогичными (11п –16п).

сos θk – cos qik · cos θi

g = arccos{–––––––––––––––––––} (11д)

sin θi · sin qik

сos qmk – cos qim · cos qiк

d = arccos{––––––––––––––––––––––} (12д)

sin qim · θi sin qik

sin(g + d)

DLim = arctg{–––––––––––––––––––––––––––} . (13д)

sin θi ·ctg qm – cos θi ·cos( +)

Lm = LI + DLim (14д)

Полярную широту qm также можно определить двумя способами:

sin qim·sin(g + d)

qm = arcsin {––––––––––––––––} , (15д)

sinDLim

qm = arcсos [сos qim ·cos θi + sin qim·sin θi ·cos(g + d)]. (16д)

Скорость изменения долготы станции равно разности долгот этой станции на меньшей и большей сферах, поделенной на промежуток вре-мени Dt, равный одному году.

(Lm – λ m)

dLm / d t = –––––––––– (17п)

Dt

Аналогично выражению (17п) определяется скорость изменения широты точки m.

(qm – φ m )

dqm / d t = –––––––––– (18п)

Dt

254 Приложение 1 . Изменение координат станций … .

Редуцированные скорости линейных изменений расстояний и коор-динат определяются по формулам /4п/ и /10п/.

V. Замыкающие связи

В системе пунктов глобальной триангуляции замыкающие связи возникают в двух случаях. Первый случай связан с обиходом станций по замкнутой сфере. В результате этого становятся известными координаты начальных и конечных пунктов глобальной сети, но остаются неизвестными изменения расстояний между этими пунктами. Второй случай обусловлен необходимостью определения расстояний на большей сфере между станциями, координаты которых определены ранее, а изменения расстояний (угловых и линейных) неизвестны. Неизвестные угловые расстояния по замыкающим связям в обоих случаях опреде-ляются по формуле: