П1.3. Критерий Лейбурна
В работе [Leybourne (1995)] предлагается вычислять значения статистики критерия Дики-Фуллера DF для исходного ряда xt и для ряда, получаемого из исходного обращением времени, и затем взять максимум DFmax из двух полученных значений. Лейбурн изучил асимптотическое распределение статистики DFmax и построил таблицы критических значений при T = 25, 50, 100, 200, 400 для моделей с (линейным) трендом и без тренда. Таблицы получены моделированием в предположении независимости и одинаковой распределенности ошибок (инноваций). Однако автор утверждает, что ими можно пользоваться и в рамках расширенного варианта критерия Дики-Фуллера. Критерий Лейбурна обладает несколько большей мощностью по сравнению с критерием Дики-Фуллера.
П1.4. Критерий Шмидта-Филлипса.
В работе [Schmidt, Phillips (1992)] авторы строят критерий для проверки гипотезы DS (в форме гипотезы единичного корня) в рамках модели
,
где
, 
.
Это удобно тем, что здесь в любом случае (b = 1 или b ¹ 1) параметр y представляет уровень, а параметр x представляет тренд. При этом распределения статистик критерия и при нулевой (DS) и при альтернативной (TS) гипотезах не зависят от мешающих параметров y, x и se. Асимптотические распределения выводятся при тех же условиях, что в критерии Филлипса-Перрона и при ширине окна l порядка T1/2. Вместо линейного тренда в модели можно использовать и полиномиальный тренд.
П1.5. Критерий DF-GLS.
Этот критерий, асимптотически более мощный, чем критерий Дики-Фуллера, был предложен в работе [Elliott, Rothenberg, Stock (1996)]. Критерий DF-GLS проверяет (см. [Maddala, Kim (1998)]) нулевую гипотезу a0=0 в модели
Dydt= a0 ydt-1+a1Dydt-1+×××+ apDydt-p+error,
где ydt - “локально детрендированный” ряд (подробности см. в цитированной работе).
П1.6. Критерий Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина (KPSS)
Этот критерий, предложенный в работе [Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin (1992)], в качестве нулевой берет гипотезу TS. Рассмотрение ведется в рамках модели
Ряд = Детерминированный тренд + Стохастический тренд + Стационарная ошибка.
Стохастический тренд представляется случайным блужданием, и нулевая гипотеза предполагает, что дисперсия инноваций, порождающих это случайное блуждание, равна нулю. Альтернативная гипотеза соответствует предположению о том, что эта дисперсия отлична от нуля, так что анализируемый ряд принадлежит классу DS рядов. В такой формулировке предложенный критерий является LM критерием для проверки указанной нулевой гипотезы.
Как и в критерии Филлипса-Перрона, требования на ошибки здесь менее строгие, чем в критерии Дики-Фуллера. Однако при применении данного критерия возникает проблема выбора ширины окна l в оценке Newey-West, поскольку значения статистики критерия довольно чувствительны к значению l. Сами авторы в цитируемой статье рассматривают варианты выбора ширины окна, следующие рекомендациям Шверта (см. [Schwert (1989)]).
П1.7. Критерий Перрона и его обобщение
П1.7.1. Критерий Перрона
Предложенная в работе [Perron (1989a)] процедура проверки нулевой гипотезы о принадлежности ряда классу DS обобщает процедуру Дики-Фуллера на ситуации, когда на периоде наблюдений имеются структурные изменения модели в некоторый момент времени TB либо в форме сдвига уровня, либо в форме изменения наклона тренда, либо в форме сочетания этих двух изменений. Важность такого обобщения связана с тем обстоятельством, что если DS-критерий не допускает возможности изменения структуры модели, тогда как такое изменение в действительности имеет место, то он имеет очень низкую мощность, т. е. практически всегда не отвергает DS-гипотезу (см., например, [Engle, Granger (1991)]).
В критерии Перрона момент изменения структуры предполагается экзогенным, в том смысле, что он выбирается не на основании визуального исследования графика ряда, а связывается с моментом известного масштабного изменения экономической обстановки, существенного отражающегося на поведении рассматриваемого ряда.
Трем указанным выше формам изменения структуры модели соответствуют три различных варианта регрессионных моделей, которые строятся путем вбирания в себя моделей, соответствующих нулевой и альтернативной гипотезам.
A. "crash" model
B. "changing growth" model:
C. model which allows "both effects" take place:
Здесь
c - постоянная,
;
в модели A
;
в модели B
;
в модели C
Критические значения для t-статистики критерия и остальных параметров зависят от значения отношения TB /T.
Нулевые гипотезы единичного корня накладывают следующие ограничения на истинные параметры моделей:
Модель A.
Модель B.
Модель C.
Альтернативные гипотезы накладывают следующие ограничения на истинные параметры моделей
Модель A.
Модель B.
Модель C.
В такой формулировке нулевая и альтернативная гипотезы являются гнездовыми гипотезами.
Асимптотические критические значения t-статистики критерия Перрона зависят от типа структурных изменений, параметра l=T/TB и от того, какая из моделей постулируется – модель с аддитивным выбросом (AO), в которой структурное изменение происходит внезапно, или модель с инновационным выбросом (IO), в которой структурное изменение происходит постепенно. Приведенные в работе [Perron (1989a)] таблицы критических значений соответствуют моделям с инновационным выбросом. Как поступать в случае моделей с аддитивными выбросами, сообщается в работе [Perron, Vogelsang (1993)].
П1.7.2. Обобщенная процедура Перрона с эндогенным выбором момента излома тренда.
Здесь мы используем процедуру, описанную в работе [Perron (1997)], в которой выбор момента излома TB эндогенным образом, т. е. только на основе анализа имеющейся реализации ряда, безотносительно к какой-либо внешней информации о возможном моменте излома. При этом рассматриваются модели IO1 – с инновационным выбросом с изменением постоянной, IO2 – с инновационным выбросом, изменяющим и постоянную и наклон тренда, AO – с аддитивным выбросом, изменяющим только наклон тренда.
Предусмотрены три метода оптимального выбора даты излома:
UR – по минимуму t-статистики критерия для проверки гипотезы a = 1;
STUDABS – по максимуму абсолютной величины t-статистики критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при переменной, отвечающей за изменение константы (в модели IO1) или за изменение наклона тренда (в модели IO2);
STUD - по минимуму t-статистики критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при переменной, отвечающей за изменение константы (в модели IO1) или за изменение наклона тренда (в модели IO2);
При практической реализации критерия обычно несколько ограничивают интервал возможных дат излома, чтобы исключить слишком ранние или слишком поздние даты излома.
П1.8. Процедура Кохрейна (отношение дисперсий)
Эта процедура, предложенная в работе [Cochraine (1998)], основывается на изучении характера поведения отношений
(VR – variance ratio), где
.
Если xt - случайное блуждание, то тогда 
, а если xt - процесс, стационарный относительно линейного тренда (или просто стационарный), то тогда 
при k ® ¥.
При работе с реальными данными дисперсии заменяются их состоятельными оценками, и полученное отношение умножается еще на T / (T - k + 1) для достижения несмещенности полученной оценки для 
. Затем строится график значений полученных оценок для при различных k = 1,…, K и по поведению этого графика делаются выводы о принадлежности ряда классу TS или DS, имея в виду различия в поведении этого графика для этих двух классов временных рядов.
Другой вариант работы с реальными данными состоит в использовании равносильного представления статистики отношения дисперсий :
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 |
Основные порталы (построено редакторами)