(П2.52)
которая дает решение задачи: 
Коэффициент сглаживания l можно интерпретировать также как коэффициент дисконтирования, характеризующий меру обесценения наблюдения за единицу времени.
Для рядов с «бесконечным прошлым» формула (П2.52) сводится к виду
(П2.53)
В соответствии с простейшим вариантом метода экспоненциального сглаживания прогноз 
для неизвестного значения xt+1 по известной до момента времени t траектории ряда xt строится по формуле
(П2.54)
где значение 
определено формулой (П2.52) или (П2.53), соответственно для короткого или длинного временного ряда.
Формула (П2.54) удобна, в частности, тем, что при появлении следующего (t + 1)-го наблюдения xt+1 пересчет прогнозирующей функции 
производится с помощью простого соотношения 
Метод экспоненциального сглаживания можно обобщить на случай полиномиальной неслучайной составляющей анализируемого временного ряда, т. е. на ситуации, когда вместо (П2.51) постулируется
xt+t = a0 + a1t +…+ aktk + et, (П2.55)
где k ³ 1. В соотношении (П2.55) начальная точка отсчета времени сдвинута в текущий момент времени t, что облегчает дальнейшие вычисления. Соответственно, в схеме простейшего варианта метода прогноз значения xt+1 будет определяться соотношениями (П2.55) при t = 1 и (П2.54):
где оценки 
получаются как решение оптимизационной задачи
(П2.56)
Решение задачи (П2.56) не представляет принципиальных трудностей.
Сделаем несколько замечаний по поводу использования описанного подхода.
1) Выбор вида прогнозирующей функции основанный на подборе операторов авторегрессии (1 - åajLj) и конечных разностей Dk = 1 - Lk, представляется более гибким и обоснованным, чем формальная аппроксимация полиномом траектории анализируемого временного ряда.
2) Узким местом всех адаптивных методов, и методов экспоненциального сглаживания в частности, является подбор подходящего к данной конкретной задаче параметра сглаживания (адаптации) l. Даже при оптимальном подборе параметра модель Брауна уступает в точности прогноза ARIMA(0, 1, 1)-модели.
3) В моделях экспоненциального сглаживания вся специфика анализируемого ряда должна быть отражена в единственном параметре l. Это, конечно, сильно ограничивает класс допустимых в рамках этого метода моделей.
Рассмотрим еще несколько методов, использующих идеологию экспоненциального сглаживания, которые развивают метод Брауна в различных направлениях.
Метод Хольта. Хольт [Holt (1957)] ослабил ограничения метода Брауна, связанные с его однопараметричностью, введением двух параметров сглаживания l1 и l2 (0 < l1, l2 < 1). В его модели прогноз 
на l тактов времени в текущий момент t также определяется линейным трендом вида
где обновление прогнозирующих коэффициентов производится по формулам:
Таким образом, прогноз по данному методу является функцией прошлых и текущих данных, параметров l1 и l2, а также начальных значений 
и 
.
Метод Хольта-Уинтерса. Уинтерс [Winters (1960)] развил метод Хольта так, чтобы он охватывал еще и сезонные эффекты. Прогноз, сделанный в момент t на l тактов времени вперед, равен
где wt - коэффициент сезонности, а N - число временных тактов, содержащихся в полном сезонном цикле. Сезонность в этой формуле представлена мультипликативно. Метод использует три параметра сглаживания l1, l2, l3 (0 < lj < 1, j = 1, 2, 3), а его формулы обновления имеют вид:
Как и в предыдущем случае, прогноз строится на основании прошлых и текущих значений временного ряда, параметров адаптации l1, l2 и l3, а также начальных значений 
и w0.
Аддитивная модель сезонности Тейла-Вейджа. В экономической практике чаще встречаются экспоненциальные тенденции с мультипликативно наложенной сезонностью. Поэтому перед использованием аддитивной модели члены анализируемого временного ряда обычно заменяют их логарифмами, преобразуя экспоненциальную тенденцию в линейную, а мультипликативную сезонность - в аддитивную. Преимущество аддитивной модели заключается в относительной простоте ее вычислительной реализации. Рассмотрим модель вида (в предположении, что исходные данные прологарифмированы):
где a0(t) - уровень процесса после элиминирования сезонных колебаний, a1(t) - аддитивный коэффициент роста, wt - аддитивный коэффициент сезонности, dt - белый шум.
Прогноз, сделанный в момент t на l временных тактов вперед, подсчитывается по формуле
где коэффициенты 
и w вычисляются рекуррентным образом с помощью следующих формул обновления:
В этих соотношениях, как и прежде, N - число временных тактов, содержащихся в полном сезонном цикле, а l1, l2 и l3 - параметры адаптации.
П3. Исходные данные для расчетов
П3.1. Темпы инфляции
Месячные данные с 1991:01 по 2000:08 (%). Рабочее название ряда – Inflation.
1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | |
Январь | 6,2 | 245,0 | 25,8 | 17,9 | 17,8 | 4,1 | 2,3 | 1,4 | 8,4 | 2,3 |
Февраль | 4,8 | 38,3 | 24,7 | 10,8 | 11,0 | 2,8 | 1,5 | 0,9 | 4,1 | 1,0 |
Март | 6,3 | 29,9 | 20,1 | 7,4 | 8,9 | 2,8 | 1,4 | 0,6 | 2,8 | 0,6 |
Апрель | 63,5 | 21,7 | 18,8 | 8,5 | 8,5 | 2,2 | 1,0 | 0,4 | 3,0 | 0,9 |
Май | 3,0 | 12,0 | 18,1 | 6,9 | 7,9 | 1,6 | 0,9 | 0,5 | 2,2 | 1,8 |
Июнь | 1,2 | 18,6 | 19,9 | 6,0 | 6,7 | 1,2 | 1,1 | 0,1 | 1,9 | 2,6 |
Июль | 0,6 | 11,0 | 22,4 | 5,3 | 5,4 | 0,7 | 0,9 | 0,2 | 2,8 | 1,8 |
Август | 0,5 | 8,6 | 25,8 | 4,6 | 4,6 | -0,2 | -0,1 | 3,7 | 1,2 | 1,0 |
Сентябрь | 1,1 | 11,5 | 23,1 | 7,7 | 4,5 | 0,3 | -0,3 | 38,4 | 1,5 | |
Октябрь | 3,5 | 22,9 | 19,5 | 15,0 | 4,7 | 1,2 | 0,2 | 4,5 | 1,4 | |
Ноябрь | 8,9 | 26,1 | 16,4 | 15,0 | 4,5 | 1,9 | 0,6 | 5,7 | 1,2 | |
Декабрь | 12,1 | 25,4 | 12,5 | 16,4 | 3,2 | 1,4 | 1,0 | 11,6 | 1,3 |
П3.2. Денежные агрегаты
П3.2.1. Денежный агрегат M0
Месячные данные с 1990:12 по 2000:07. Рабочее название ряда – M0.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 |
Основные порталы (построено редакторами)