(П2.42)
где p (0 < p < 1) и M (любое целое положительное число) - параметры, определяющие (вместе с 
) конкретную лаговую структуру в данном параметрическом семействе. Из свойств отрицательного биномиального распределения следует:
· элементы wk нормированной лаговой структуры при M > 1 сначала возрастают (при 
), а затем убывают (при 
);
· среднее значение лага (Et) и его дисперсия (Dt) определяются как
Et = 
; Dt = 
.
и являются возрастающими функциями как M, так и p.
Лаговая структура, основанная на биномиальном законе распределения вероятностей, является естественным аналогом структуры Паскаля в классе конечных моделей с распределенными лагами. Ее нормированные элементы задаются соотношениями
(П2.45)
Данный класс конечных лаговых структур описывается однопараметрическим семейством (параметр p - некоторое число между 0 и 1). Из свойств биномиального распределения следует, что последовательность (П2.45) образует (так же как и (П2.42)) унимодальный ряд, причем Et = pN и Dt = p(1 - p)N.
Описанные вероятностные лаговые структуры применимы в ситуациях, когда из содержательного смысла анализируемых зависимостей вида (П2.35) следует, что весовые коэффициенты qk (а значит, и wk) начинают монотонно убывать не сразу, а только после некоторого k0.
П2.5. Прогнозирование экономических показателей на основе моделей временных рядов
Рассмотрим теперь, как методы и модели, описанные в П2.3 и П2.4, используются при прогнозировании экономических показателей. Сконцентрируем внимание на методах автопрогноза, в которых имеющийся в наличии ряд экстраполируется вперед, а другие ряды, которые, возможно, несут определенную информацию о его поведении остаются без внимания. Поскольку не существует универсально предпочтительных методов прогнозирования на все случаи жизни, то выбор метода прогнозирования и его эффективность зависят от многих условий. В частности от:
(а) требуемого горизонта прогнозирования;
(б) длины анализируемого временного ряда;
(в) наличия или отсутствия в анализируемом ряду сезонной составляющей или каких-либо «нестандартностей».
Поэтому метод прогнозирования следует выбирать с учетом всех специфических особенностей как целей прогноза, так и анализируемого временного ряда.
П2.5.1. Прогнозирование на базе ARIMA-моделей
ARIMA-модели охватывают достаточно широкий спектр временных рядов, а небольшие модификации этих моделей позволяют весьма точно описывать и временные ряды с сезонностью. Начнем обсуждение проблемы прогнозирования временных рядов с методов, основанных на использовании ARIMA-моделей. Мы говорим об ARIMA-моделях, имея в виду, что сюда входят как частные случаи AR-, MA - и ARMA-модели. Кроме того, будем исходить из того, что уже осуществлен подбор подходящей модели для анализируемого временного ряда, включая идентификацию этой модели. Поэтому в дальнейшем предполагается, что все параметры модели уже оценены.
Будем прогнозировать неизвестное значение xt+l, l ³ 1 полагая, что xt - последнее по времени наблюдение анализируемого временного ряда, имеющееся в нашем распоряжении. Обозначим такой прогноз 
.
Заметим, что хотя и 
обозначают прогноз одного и того же неизвестного значения xt+l, но вычисляются они по-разному, т. к. являются решениями разных задач.
Ряд xt, анализируемый в рамках ARIMA(p, k, q)-модели, представим (при любом t > k) в виде
(П2.46)
где L - оператор сдвига функции времени на один временной такт назад.
Из соотношения (П2.46) можно выразить xt для любого t = t - q,…, t - 1, t, t + 1,…, t + + l. Получаем
(П2.46)
Правые части этих соотношений представляют собой линейные комбинации p + k предшествующих (по отношению к левой части) значений анализируемого процесса xt, дополненные линейными комбинациями текущего и q предшествующих значений случайных остатков dt. Причем коэффициенты, с помощью которых эти линейные комбинации подсчитываются, известны, т. к. выражаются в терминах уже оцененных параметров модели.
Этот факт и дает возможность использовать соотношения (П2.46) для построения прогнозных значений анализируемого временного ряда на l тактов времени вперед. Теоретическую базу такого подхода к прогнозированию обеспечивает известный результат, в соответствии с которым наилучшим (в смысле среднеквадратической ошибки) линейным прогнозом в момент времени t с упреждением l является условное математическое ожидание случайной величины xt+l, вычисленное при условии, что все значения xt до момента времени t. Этот результат является частным случаем общей теории прогнозирования (см. [Wold (1932)], [Kolmogoroff (1939)], [Wiener (1949)]).
Условное математическое ожидание E(xt+l | x1,…, xt) получается применением операции усреднения к обеим частям (П2.46) при t = t + l с учетом следующих соотношений:
E(xt-j | x1,…, xt) = xt-j при всех j = 0, 1, 2,…, t - 1; (П2.47)
E(xt+j | x1,…, xt) = 
при всех j = 1, 2,…; (П2.48)
E(xt+j | x1,…, xt) = 0 при всех j = 1, 2,…; (П2.49)
E(xt-j | x1,…, xt) = 
при всех j = 0, 1, 2,…, t - 1. (П2.50)
Таким образом, определяется следующая процедура построения прогноза по известной до момента траектории временного ряда:
1) по формулам (П2.46) вычисляются ретроспективные прогнозы 
, 
,…, 
по предыдущим значениям временного ряда; при этом при вычислении начальных прогнозных значений 
для xt-q+m (m = 0, 1,…) по формулам (П2.46) вместо условных средних E(dt-q+m-j | x1,…, xt-q+m), которые в общем случае следовало бы вычислять по формулам (П2.50), подставляются их безусловные значения, равные нулю;
2) используя формулы (П2.46) для t > t и правила (П2.47)-(П2.50) подсчитываются условные математические ожидания для вычисления прогнозных значений.
Описанная процедура выглядит достаточно сложной. Однако при реалистичных значениях параметров p, q и k эта процедура в действительности оказывается весьма простой.
Мы не касались здесь важных вопросов оценки точности получаемых прогнозов. Теоретические аспекты этой проблемы рассмотрены, например, в [Бокс, Дженкинс (1974)].
П2.5.2. Адаптивные методы прогнозирования
Считается, что характерной чертой адаптивных методов прогнозирования является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, «подстраиваться» под эту эволюцию, придавая, в частности, тем больший вес и тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования. Однако деление методов и моделей на «адаптивные» и «неадаптивные» достаточно условно. В известном смысле любой метод прогнозирования адаптивный, т. к. все они учитывают вновь поступающую информацию, в том числе наблюдения сделанные с момента последнего прогноза. Общее значение термина заключается, по-видимому, в том, что «адаптивное» прогнозирование позволяет обновлять прогнозы с минимальной задержкой и с помощью относительно несложных математических процедур. Однако это не означает, что в любой ситуации адаптивные методы эффективнее тех, которые традиционно не относятся к таковым.
Методы экспоненциального сглаживания [Brown (1962)]. Простейший вариант метода уже рассматривался в связи с задачей выявления неслучайной составляющей анализируемого временного ряда. Постановка задачи прогнозирования с использованием простейшего варианта метода экспоненциального сглаживания формулируется следующим образом.
Пусть анализируемый временной ряд xt, t = 1, 2,…, t представлен в виде
xt = a0 + et, (П2.51)
где a0 - неизвестный параметр, не зависящий от времени, а et - случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией. Как известно, экспоненциально взвешенная скользящая средняя ряда xt в точке t 
с параметром сглаживания (параметром адаптации) l (0 < l < 1) определяется формулой
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 |
Основные порталы (построено редакторами)