Р. Энгл [Engle (1982)] рассматривал остатки как условно гетероскедастичные, связанные друг с другом простейшей авторегрессионной зависимостью
et = dt[q0 + q1e2t-1], (П2.33)
где последовательность dt, t = 1, 2,…, - образует стандартизованный нормальный белый шум, а параметры q0 и q1 должны удовлетворять ограничениям, обеспечивающим безусловную гомоскедастичность et (такими ограничениями являются требования q0 > 0, |q1| < 1).
Модель вида (П2.33) называется авторегрессионной условно гетероскедастичной (ARCH-модель). Использование такой модели (см., например, [Greene (1997)] для описания поведения остатков нередко позволяет строить более эффективные оценки параметров моделей, чем МНК-оценки (в том числе, обобщенные).
Естественное обобщение моделей типа (П2.33) (см. [Engle, Kraft (1983)]):
et = dt[q0 + q1e2t-1 +…+ qqet-q], (П2.34)
а параметры q0, q1,…, qq связаны некоторыми ограничениями, обеспечивающими безусловную гомоскедастичность остатков et.
Модели (П2.34) называются моделями ARCH порядка (сокращенно ARCH(q)). Модель (П2.33) является ARCH(1)-моделью и соответствует частному случаю (П2.34) при q = 1. Содержательный переход к q > 1 в моделях (П2.34) означает, что процесс формирования значений остатков et имеет «более длинную память» о величинах предшествующих остатковet-1, et-2,… . ARCH(q)-модель (П2.34) может рассматриваться как некая специальная форма МА(q)-модели, что и используется при ее анализе.
Дальнейшее обобщение моделей этого типа [Bollerslev (1986)] заключается в описании поведения остатков et с помощью обобщенной авторегрессионной условно гетероскедастичной модели (GARGH-модели).
П2.4. Модели нестационарных временных рядов и их идентификация
П2.4.1. Модель авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA(p, k, q)-модель)
Эта модель предложена Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [Бокс, Дженкинс (1974)]. Она предназначена для описания нестационарных временных рядов xt, обладающих следующими свойствами:
1. Анализируемый временной ряд аддитивно включает в себя составляющую f(t), имеющую вид алгебраического полинома (от параметра времени t) некоторой степени k > 1; при этом коэффициенты этого полинома могут быть как стохастической, так и нестохастической природы;
2. Ряд 
получившийся из xt после применения к нему k-кратной процедуры метода последовательных разностей, может быть описан моделью ARMA(p, q).
Это означает, что ARIMA(p, k, p)-модель анализируемого процесса xt, может быть записана в виде
где 
Заметим, что классу моделей ARIMA принадлежит и простейшая модель стохастического тренда – процесс случайного блуждания (или просто случайное блуждание). Случайное блуждание определяется аналогично процессу авторегрессии первого порядка (П2.14), но только у случайного блуждания a = 1, так что
et = et-1 + dt.
Ряд первых разностей случайного блуждания dt представляет собой белый шум, т. е. процесс ARMA(0, 0). Поэтому само случайное блуждание входит в класс моделей ARIMA как модель ARIMA(0, 1, 0).
Идентификация ARIMA-моделей. В первую очередь, следует подобрать порядок k модели. Первый тип критерия подбора основан на отслеживании поведения величины 
(см. (П2.12)) в зависимости от k: в качестве верхней оценки для порядка k определяется то значение k0, начиная с которого тенденция к убыванию гасится и само значение относительно стабилизируется. Второй тип критерия подбора порядка k ARIMA-модели основан на анализе поведения автокорреляционных функций процессов Dxt, D2xt,…. последовательные преобразования анализируемого процесса xt с помощью операторов D, D2,… нацелены на устранение его нестационарности. Поэтому до тех пор, пока l < k процессы Dlxt будут оставаться нестационарными, что будет выражаться в отсутствии быстрого спада в поведении их выборочной автокорреляционной функции. Поэтому предполагается, что необходимая для получения стационарности степень k разности D достигнута, если автокорреляционная функция ряда 
быстро затухает.
После подбора порядка k анализируется уже не сам ряд xt, а его k-е разности. Идентификация этого ряда сводится к идентификации ARMA(p, q)моделей, процедуры идентификации которых описаны в П2.4.3.
Коинтеграция временных рядов в регрессионном анализе. В регрессионном анализе одновременно рассматривается несколько временных рядов. Если xt - интегрированный временной ряд порядка k1, приводящийся к стационарному ряду переходом к разностям порядка k1, а yt - интегрированный временной ряд порядка k2 > k1, остационариваемый переходом к разностям порядка k2, то при любом значении параметра q случайный остаток et = yt - qxt будет интегрированным временным рядом порядка k2. Если же k1 = k2 = k, то константа q иногда может быть подобрана так, что et будет стационарным (интегрированным порядка 0) с нулевым средним. При этом говорят, что ряды xt и yt коинтегрированы, а вектор (1, -q) называется коинтегрирующим. При регрессионном анализе интегрированных рядов xt и yt отсутствие коинтегрированности этих рядов приводит к фиктивной (паразитной) регрессии.
Проверка на коинтегрированность пары интегрированных рядов первого порядка может производиться, например, по следующей схеме: 1) рассматривается модель yt = qxt + et и строится оценка параметра q; 2) ряд 
анализируется на стационарность в рамках одной из моделей ARMA(p, q); например, в рамках AR(1)-модели проверяется гипотеза |a| < 1 в представлении 
.
Подробнее с проблемой коинтеграции временных рядов можно познакомиться, например, в [Greene (1997)]. Исчерпывающий обзор литературы по этой проблеме приведен в книге [Maddala, Kim (1998)].
П2.4.2. Модели рядов, содержащих сезонную компоненту
Под временными рядами, содержащими сезонную компоненту, понимаются процессы, при формировании значений которых обязательно присутствовали сезонные и/или циклические факторы.
Один из распространенных подходов к прогнозированию состоит в следующем: ряд раскладывается на долговременную, сезонную (в том числе, циклическую) и случайную составляющие; затем долговременную составляющую подгоняют полиномом, сезонную – рядом Фурье, после чего прогноз осуществляется экстраполяцией этих подогнанных значений в будущее. Однако этот подход может приводить к серьезным ошибкам. Во-первых, короткие участки стационарного ряда (а в экономических приложениях редко бывают достаточно длинные временные ряды) могут выглядеть похожими на фрагменты полиномиальных или гармонических функций, что приведет к их неправомерной аппроксимации и представлению в качестве неслучайной составляющей. Во-вторых, даже если ряд действительно включает неслучайные полиномиальные и гармонические компоненты, их формальная аппроксимация может потребовать слишком большого числа параметров, т. е. получающаяся параметризация модели оказывается неэкономичной.
Принципиально другой подход основан на модификации ARIMA-моделей с помощью «упрощающих операторов». Схематично процедура построения сезонных моделей, основанных на ARIMA-конструкциях, модифицированных с помощью упрощающих операторов ÑT = 1 - FT_, может быть описана следующим образом (детальное описание соответствующих процедур см., например, в [Бокс, Дженкинс (1974)]:
1. Применяем к наблюдаемому ряду xt операторы D и ÑT для достижения стационарности;
2. По виду автокорреляционной функции преобразованного ряда 
подбираем пробную модель в классе ARMA- или модифицированных (в правой части) ARMA-моделей;
3. По значениям соответствующих автоковариаций ряда получаем (методом моментов) оценки параметров пробной модели;
4. Диагностическая проверка полученной модели (анализ остатков в описании реального ряда xt с помощью построенной модели) может либо подтвердить правильность модели, либо указать пути ее улучшения, что приводит к новой подгонке и повторению всей процедуры.
Более детальное описание этих процедур можно найти в [Бокс, Дженкинс (1974)].
П2.4.3. Регрессионные модели с распределенными лагами
Рассмотрим задачу построения линейной регрессионной модели, позволяющей с наименьшими (в определенном смысле) ошибками восстанавливать и прогнозировать значения yt по значениям xt. Иначе говоря, будем рассматривать модели вида
(П2.35)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 |
Основные порталы (построено редакторами)