ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 10 )

так как последний интеграл существует. Вторая сумма будет стремиться к нулю в силу равномерной непрерывности функции на заданной кривой. Таким образом,

=.

Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям Oy, Oz. Откуда, в свою очередь, будет следовать равенство

=, (4)

,,.

Обозначим орт вектора касательной и введем понятие вектора элемента длины дуги . Это обозначение согласуется с ранее введенным обозначением. В этих обозначениях интеграл справа в (4) может быть записан в виде , это интеграл первого рода. Интеграл слева в (4) является интегралом второго рода и его принято обозначать . Таким образом, формула (4) в векторном виде может быть записана следующим образом

=.

Докажем четвертое свойство интеграла второго рода . Используя свойство 3 интеграла первого рода имеем

Пятое свойство (инвариантность относительно сдвигов и поворотов системы координат) следует из одноименного свойства интегралов первого рода и формулы, связи интегралов первого и второго рода =.

Определение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой. Для замкнутой кривой, лежащей в плоскости z=0, положительным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.

Пример 1. Вычислить , где g - дуга астроиды .

Параметрическое уравнение астроиды

====+=+==

Пример 2. Вычислить , g - окружность , x+y+z=0.

Сделаем поворот системы координат на угол градусов вокруг оси Oz .	Это означает переход к новой системе координат (u,v,w) по формулам:

Согласно свойству инвариантности интеграла относительно поворотов имеем

=, где G - окружность, являющаяся пересечением сферы u2+v2+w2=a2 (образ сферы при повороте (*)) и плоскости u+w=0, являющейся образом плоскости x+y+z=0 при том же повороте. Отметим, что этим поворотом мы «избавились» от одного переменного в уравнении плоскости. Попробуем избавиться таким же способом от второго переменного. Так как u+w = , то этого можно добиться, сделав еще один поворот

	Обратное отображение

Это соответствует повороту вокруг оси Ov на угол b, для которого , , другими словами на угол . В новых координатах p, q, r уравнение плоскости будет иметь вид p = 0 . Подынтегральная функция будет равна . Кривая лежит в плоскости p=0. Сфера перейдет в сферу того же радиуса . Образом исходной окружности g будет окружность . В качестве параметризации воспользуемся полярными координатами

Тогда для исходного интеграла можно записать цепочку преобразований:

=====.

Пример 3. Вычислить интеграл , где g представляет собой:

1) отрезок g1=OA, O=(0,0), A=(1,2).

2) парабола g2 ={y=2x2} , от O до A.

3) два отрезка g3 + g4 : по оси Ox и вертикально вверх до точки A.

В первом случае кривая имеет параметризацию: , =

во втором случае кривая параметризуется следующим образом: , =.

§3. Формула Грина

1.  Формула Грина

Рассмотрим область типа A (см. рис.) D={(x,y): y1(x)£ y £ y2(x), xÎ[a,b]}, где y1(x)£ y2(x), две непрерывные функции на отрезке [a,b].

Границу этой области с положительным направлением обхода обозначим G. Эта граница распадается на четыре участка . Пусть в области D задана функция P(x,y), непрерывная там вместе со своей частной производной . Тогда справедлива формула

= -. (1)

Доказательство. ===-=-=.

Здесь используются равенства =0, =0, следующие непосредственно из определения интеграла. Аналогично, можно показать, что для области типа B (см. рис. ).

Справедлива формула

= . (2)