ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 15 )

В обозначениях поверхностных интегралов второго рода dydz , dzdx, принят указанный порядок расположения символов dydz , dzdx, dxdy.

Рассмотрим векторное поле V=(P,Q,R) определенное на ориентированной поверхности Ф, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости. В этом случае можно рассмотреть интеграл

= ++ .

Если поверхность Ф разбивается на отдельные части Фk, каждая из которых однозначно проектируется на все координатные плоскости, то определяется, как сумма интегралов по отдельным частям

=.

3.  Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода

Пусть задана ориентированная поверхность Ф: z = z(x,y) на D, где z(x,y) непрерывно дифференцируемая функция на D. На поверхности Ф определена непрерывная функция R(x,y,z). Тогда поверхностный интеграл

существует и вычисляется по формуле

= or Ф .

Напомним, что or Ф = 1 для положительно ориентированной поверхности и or Ф = -1 в противном случае.

Доказательство. Для заданных разбиений {Фk } , {Dk }, промежуточных точек . Тогда для интегральных сумм получим

s =

Из последнего равенства и следует требуемое утверждение. Аналогичные формулы имеют место для поверхностей вида y=y(z, x), x=x(y, z).

= or Ф , = or Ф .

4.  Связь с интегралом 1-го рода

Как отмечалось ранее mFk== или

Здесь через обозначен третий направляющий косинус единичной нормали к поверхности Ф в точке M, а штрихом обозначается соответствующая точка Отметим, что sign cos g(M) является константой на поверхности. Поэтому для функции R(x,y,z), заданной на поверхности, получим интегральные суммы

s =

Первая сумма является интегральной для , вторая сумма стремится у нулю при неограниченном измельчении разбиения. Последнее утверждение следует из ограниченности функции f (первая теорема Вейерштрасса) и равномерной непрерывности функции cos g (x,y,z) (функция – косинус угла между нормалью к поверхности и осью z является непрерывной функцией на поверхности. Предполагается, что D-компакт). Таким образом, мы получаем формулу, связывающую поверхностные интегралы 2-го и 1-го рода

= . (1)

Определение. Поверхность, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости, будем называть поверхностью типа А. Поверхность называется допустимой, если она непрерывно дифференцируема, имеем везде ненулевую нормаль и допускает разбиение на конечное число поверхностей типа А.

Для допустимых поверхностей Ф, доказанная формула будет верна по отношению ко всем координатным плоскостям. В частности, если на поверхности определено непрерывно дифференцируемое поле V=(P,Q,R), то

P dydz +Q dzdx+R dxdy = (P cos a +Q cos b + R cos g) dS , (2)

где cos a, cos b, cos g - направляющие косинусы нормали к поверхности в текущей точке. Эти формулы можно получить из (1) циклической перестановкой переменных. Например, для интеграла в формуле (1) необходимо заменить R на Q , y на x , z на y , x на z, cos g на cos b (См. рис., где заменяем 2 на 3).

5.  Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода

Введем следующие обозначения dS=ndS=(cos a, cos b, cos g) dS. Это позволяет использовать векторное обозначение для интеграла 2-го рода

P dydz +Q dzdx+R dxdy = (V,dS).

Формула (2) в этих обозначениях выглядит следующим образом

(V,dS) = (V,n) dS. (2)

Замечание. Как это следует из формул вычисления площади поверхности, элемент поверхности dS=|N|dxdy для поверхности z(x,y) и dS=|N|dudv для параметрически заданной поверхности. Это можно использовать при вычислении поверхностных интегралов. Например, для параметрически заданной поверхности можно записать

(V,dS) = (V,n) dS=(V,n) |N|dudv=(V, N)dudv.

Отметим свойства интеграла 2-го рода

1) (V,dS) = -(V,dS)

2) (aV + bW, dS) = a(V, dS) + b(W, dS)

3) (V,dS) = (V,dS) + (V,dS)

4) |(V,dS)| £ max |V|mF.

Все эти свойства являются следствием соответствующих свойств интеграла 1-го рода и формулы (2), связывающей эти два интеграла.

Пример 1. Найти статические моменты однородной треугольной пластинки x+y+z=a, x³0, y³0, z³0 относительно координатных плоскостей.

Требуется вычислить интегралы

Плотность распределения массы r=1. ===.

Пример 2. Найти момент инерции относительно оси Oz однородной сферической оболочки x2+y2+z2=a2 , z³0.