ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 6 )

S(F, DS)-s(F, DS)==£ С=C(S(f, DD)-s(f, DD)).

Откуда и следует интегрируемость функции F(x, h) на S.

Теорема. Пусть функция f интегрируема в D, тогда

= .

Доказательство. Согласно доказанной лемме интеграл справа существует. Выберем некоторое разбиение области S на подобласти Si и соответствующее ему разбиение области D на множества Di. Тогда по теореме о среднем для каждого i будет существовать точка (xi , hi ), для которой

mDi = = = .

Для этих точек (xj,hj ) и соответствующих им точек (xj,yj ) можно выписать интегральные суммы

.

При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства будут сходиться к интегралам

, ,

соответственно.

Пример 1. Рассмотреть область D={jÎ[a, b],rÎ[r1,r2]} и сделать замену в интеграле , используя полярные координаты: .

Для полярных координат якобиан отображения равен , . Поэтому, для областей указанного типа получим:

== .

Пример 2. Сделать замену переменных u=x+y, v=y – x в интеграле для области D={|x|+|y|£ 1}.

Якобиан отображения . Нужный нам якобиан равен . Поэтому

=.

Пример 3. Сделать замену переменных x=u cos4v, y= u sin4v в интеграле для области D, ограниченной кривыми x=0, y=0, .

Областью здесь является прямоугольник . Якобиан отображения будет равен: =. Поэтому

=.

Пример 4. Является ли конечной площадь области, заключенной между биссектрисой 2-4 –го координатных углов и кривой (x3+y3)2=x2+y2.

Перейдем к полярным координатам r6(cos3j+sin3j)2=r2, . Тогда площадь указанной области будет равна: mD= = =

= = = = = = .

Последний интеграл расходится.

Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение

§1. Тройные и n-кратные интегралы

1.  Определение тройного и n-кратного интеграла

Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать mD , функция f(M)=f(x,y,z) определена и ограничена в области D. Предположим, что D разбита кусочно-гладкими поверхностями на кубируемые подобласти Dk (совокупность таких областей {Dk} называется разбиением области D и обозначается D={Dk}). В каждой из подобластей Dk выберем точку Mk=(xk,hk,zk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Как и раньше условие Mk=(xk,hk,zk)ÎDk кратко будем обозначать Интегральной суммой для функции f, разбиения D , набора промежуточных точек X называется выражение

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)=dDk называется характеристикой разбиения D. Здесь – диаметр множества Dk .

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Можно использовать обозначение = (вместо M можно использовать любую подходящую букву, например ).

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d, XÎD)Þ|s(f,D, X) - J|<e.

Понятие длины, площади, объема обобщается и на области n- мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о его мере mD. Для измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x1,x2,…,xn) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества {Dk} ( при ). В каждой из подобластей выбираются промежуточные точки xk=( )ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={xk}. Интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)= dDk , где максимум берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения D. Как и раньше, – диаметр множества Dk , а точная верхняя грань берется по всевозможным точкам x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) из Dk .

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Для n-кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.

1)

2)  Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.

3)  Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

=c.

4)  Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| | £.

5)  Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то

£ .

6) Если m £ f(x) £ M на D, то $ cÎ[m,M] :

= c mD.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD: