ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 34 )

Производная тензора F имеет координаты и является трижды ковариантным тензором. Таким образом, является суммой трех тензоров, полученных один из другого круговой подстановкой индексов

Этими рассуждениями мы показали, что уравнения (6.1) записываются в виде

.

Теперь распишем (6.2) в координатах

Учитывая (5.5) эти соотношения запишутся в виде

С учетом косой симметрии эти равенства переписываются в виде

(6.4)

Воспользуемся контравариантной формой записи координат тензора .

Кососимметрия при этом сохраняется. В пространстве событий для метрического тензора в случае ортонормированного базиса выполняются соотношения

Матрица будет иметь вид

Матрица будет обратной матрицей к , поэтому

Учитывая это получим . В выражении суммирования уже нет. Отсюда С учетом этого уравнения (6.4) перепишутся в виде

Эти равенства можно записать ()

(6.5)

Слева этого равенства стоят координаты свертки производной тензора . Координаты производной

Таким образом, вторая группа уравнения Максвелла записывается в виде равенства двух контравариантный тензоров (6.5).

В итоге уравнения Максвелла запишутся в тензорном виде

. (6.6)

(6.7)

Здесь ,.

Следствие. Из косой симметрии тензора можно получить равенство нулю четырехмерной дивергенции вектора плотности тока

Физически это равенство означает выполнение свойства сохранения заряда (сколько заряда «втекло» в какую-то замкнутую область, столько и «вытекло»).

Так же, как это делалось для векторного потенциала векторного поля, можно, используя (6.6), доказать существование решения уравнения в частных производных

Этот вектор называется четырехмерным потенциалом электромагнитного поля. Напряженность электромагнитного поля , являясь бивектором, получается из потенциала электромагнитного поля указанным соотношением.

§3. Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах

1.  Цилиндрические координаты (r, j, h) = (x1,x2,x3).

x = r cos j

y = r sin j

z = h

r1 = (cos j , sin j, 0), H1 = |r1| = 1, r2 = (-r sin j, r cos j, 0), H2 = |r2| = r, r3 = ( 0 , 0 , 1), H3 = 1.

e1 = er = (cos j, sin j, 0) ,

e2 = ej = (-sin j, cos j, 0) ,

e3 = eh = ( 0 , 0 , 1) .

Базис er , ej , ez – ортонормированный.

,

, , ,

.

2.  Выражение градиента в цилиндрических координатах

grad u = ui ri = ui = ui .

grad u = r1 + r2 + r3 = er + ej + eh.

3.  Выражение дивергенции в цилиндрических координатах

V = Pi +Qj + Rk , Vi = = ,

V1 = , V2 = , V3 = .

Если V = ekAk , то

V1 = Vr = ( ekAk) = ek Ak + Ak ek = ek Ak.

V2 = Vj = ( ekAk) = ek Ak + Ak = ek + A1e2 - A2e1 .

V3 = Vh = ( ekAk) = ek + Ak = ek .

Отсюда следует

div V = (Vk,rk) = = = .

4.  Выражение ротора в цилиндрических координатах

[e1, e2]=e3 , [e3, e1]=e2 , [e2, e3]=e1 ,

[e1, V1] = [e1, e2] + [e1, e3] = e3 - e2,

[e2, V2] = = ,

[e3, V3] = [e3, e1] + [e3, e2] = e2 - e1 ,

rot V = + + .

5.  Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах

H = H1 H2 H3 = r,

Du = div grad u = = = .

§4. Выражение операций теории поля в сферических координатах

1.  Сферические координаты (r, j, q) = (x1,x2,x3)

x = r cos q cos j

y = r cos q sin j

z = r sin q

r1 = (cos q cos j, cos q sin j, sin q), H1 = |r1| = 1, r2 = (-r cos q sin j, r cos q cos j, 0), H2 = |r2| = r cos q, r3 = = (-r sin q cos j, - r sin q sin j, r cos q), H3 = r.

e1 = er = (cos q cos j, cos q sin j, sin q),

e2 = ej = (- sin j, cos j, 0),

e3 = eq = (- sin q cos j, - sin q sin j, cos q).

Базис er , ej , eq – ортонормированный.

,

= cos q e2 , = - cos q e1 + sin q e3 , = - sin q e2 ,

= e3 , = 0 , = - e1 .

2.  Выражение градиента в сферических координатах

grad u = ui ri = ui = ui .

grad u = r1 + r2 + r3 = er + ej + eq

3.  Выражение дивергенции в сферических координатах

Пусть V =ek Ak ,

V1 = Vr = (ek Ak) = ek + Ak = ek .

V2 = Vj = ( ekAk) = ek + Ak =

= ek – A2 cos q e1+(cosq A1 - A3sin q ) e2 + A2 sin q e3 = .

V3 = Vh = ( ekAk) = ek + Ak = .

Отсюда следует

div V = (Vk,rk) = = (V1,e1) (V2,e2) + (V3,e3) = + + = + .

4.  Выражение ротора в сферических координатах

[e1, e2]=e3 , [e3, e1]=e2 , [e2, e3]=e1 ,

[e1, V1] = [e1, e2] + [e1, e3] = e3 - e2,

[e2, V2] = =

,

[e3, V3] = [e3, e1] + [e3, e2] [e3, e1] =

= e2 e1 ,

rot V = e3 - e2 + + e2 e1 =

= + + .

5.  Выражение оператора Лапласа в сферических координатах

H1 = 1, H2 = r cos q, H3 = r,

Du = div grad u = = = .

Литература

1.  ,Позняк математического анализа. Ч. 2., М.: Наука,1971.

2.  Рашевский геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.

3.  Гельфанд по линейной алгебре. М.:Наука, 1971.

4.  Фихтенгольц математического анализа. Ч. 2., М.: Физ. Мат. Лит., 1960.

5.  Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. Т.3., М.: Наука, 1966.

6.  Кудрявцев анализ. Т.2., М.: Высшая школа, 1973.