ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 23 )

(1)

Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборы координат (x,y,z) и (x1,x2,x3) можно интерпретировать следующим образом: каждая точка M из области V определяется, как ее исходными координатами ( в дальнейшем это будут декартовы координаты ), так и координатами (x1,x2,x3), которые в отличии от исходных координат называются криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так, если в (1) фиксировать две из трех координат x1,x2,x3, то получим линию, которая называется координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и третьей координат обозначим S1 (параметром линии служит первая координата x1 ). Аналогично определяются еще два семейства линий S2 , S3 . При сделанных предположениях через каждую точку области будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом, задание точки однозначно определяется заданием трех линий l1ÎS1, l2ÎS2, l3ÎS3 . Наряду с координатными линиями можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну из координат, а остальные две рассматривать, как параметры.

Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V

Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через

(2)

Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны

.

Для данного базиса единственным образом можно определить базис 1, 2, 3 такой, что (, j)=. Подробнее об этом речь пойдет в одном из следующих пунктах. Такой базис называется взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам

1=,2=,3=. (3)

Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждой точке области V базис (2) является ортогональным.

В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что тройка правая. Положим H1=, H2=, H3=, величины H1, H2, H3 называются коэффициентами Ламе. В силу ортогональности (тройка правая)

= H1 H2 H3 , = H2 H3 ,= H3 H1 ,= H1 H2 .

Откуда следует, что

= , = , = .

2. Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Цилиндрические координаты

x1=r	x2=j	x3=h
1=(cos j, sin j, 0)	2=r (- sin j, cos j, 0)	3=(0, 0, 1)
H1=1	H2=r	H3=1

Система цилиндрических координат ортогональна и ==r,

= , = = , = .

Сферические координаты

x1=r	x2=j	x3=q, qÎ[-p/2, p/2]
1= (cos q cos j, cos q sin j, sin q)	2= r cos q (-sin j, cos j,0)	3= r (-sin q cos j, - sin q sin j, cos q)
H1=1	H2=r sin q,	H3=r.

Система сферических координат ортогональна и ==r2cos q,

3. Взаимные, сопряженные базисы

В дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.

Определение. Базисы ri , rk называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие

(ri , rk) = .

Теорема. Для любого базиса ri существует единственный взаимный базис.

Из условия r1 r2 , r1 r3 , поэтому этот вектор надо искать в виде c[r2 , r3], из условия

(r1 , r1) = 1 находится множитель c. Таким образом,

r1 = [r2 , r3]/( r1 , r2 , r3 ), r2 = [r3 , r1]/( r1 , r2 , r3 ), r3 = [r1 , r2]/( r1 , r2 , r3 ).

Любой вектор пространства можно разложить по базисам

x = xk rk = rk xk .

Координаты xk называются ковариантными координатами, а xk – контравариантными координатами.

Соглашение 1. В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей, наличие индекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексу от 1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримся при написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».

Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться. Тоже самое касается жирности шрифта для обозначения вектора (r=r, если не возникает путаницы).

Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образом

x = xk rk = rk xk .

Еще один пример: aicj = aicj .

Найдем выражение для ко и контравариантных координат

x = xi ri = ri xi Þ

xi = (x, ri ), xi = (x, ri) (1).

Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббса

x = (x, ri ) ri = ri (x, ri) (2)

Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)

xi = (x,rj )(rj,ri) = xj gji (3)

xi = (rj,ri) (x,rj ) = gji xj (4)

Матрицы gji = (rj,ri), gji = (rj,ri) симметричны и называются метрическими тензорами. Беря в качестве x в формуле (2) вектора rj , rj получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с помощью метрических тензоров

rj = gji ri

rj = ri gji .

Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощью метрического тензора. Умножим первое равенство на rk второе на rk , получим

= gji gik

= gik gji .

Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.

4. Преобразование координат

Даны базисы ei , и ei , i . Обозначим матрицы, связывающие эти базисы ,,,.