ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 3 )

2.  Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу

Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу

S(f,D) - s(f,D) стремилась к 0 при l(D)®0.

То есть для существования интеграла необходимо и достаточно, чтобы

"e>0$d>0"D, l(D)<d: S(f,D) - s(f,D)<e.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема и J=. Возьмем какое-либо e >0 для него $d>0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство

|J - s(f,D, X)|<e/3 ( независимо от выбора XÎD ).

Так как s(f,D) = s( f,D, X) и S(f,D) = s( f,D, X), то

|S(f,D) - J|£ e /3, |J - s(f,D)|£ e /3,

тогда

|S(f,D) - s(f,D)|=|S(f,D) - J + J - s(f,D)| £ |S(f,D) - J| +| J - s(f,D)| £ <e .

Достаточность. Как уже отмечалось, для любого разбиения D нижний и верхний интегралы существуют и

s(f,D) £ £ £ S(f,D), где = sup s(f,D), = inf S(f,D).

Так как разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения, то = . Положим J = = . Из соотношений

следует, что |s(f,D, x) – J | £ S(f,D) - s(f,D). Откуда и получаем требуемое утверждение.

§4. Классы интегрируемых функций

Теорема 1. Всякая непрерывная на квадрируемом компакте D функция интегрируема на этом D.

Вопрос о том, может ли существовать не квадрируемый компакт, здесь не обсуждается.

Доказательство. Как ранее отмечалось для любого разбиения D={Dk}

S(f,D) - s(f,D) =, wk (f) = Mk – mk.

По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство . Тогда

S(f,D) - s(f,D) = < =e .

Теорема 2. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек или линий разрывов интегрируема.

Без доказательства.

§5. Свойства определенного интеграла

1.  Простейшие свойства

1)

2)  Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

.

Доказательство. Имеем

wk(f+g) =sup|f(P)+g(P) – f(Q) – g(Q)|£ sup(|f(P)– f(Q) |+| g(P)– g(Q)|)£

£ sup|f(P) - f(Q)|+ sup|g(P) – g(Q)|=wk(f) + wk(g) .

Отсюда

S(f+g,D) – s(f+g,D)=Swk(f+g) mDk £ Swk(f) mD k + Swk(f) mD k.

Откуда следует интегрируемость суммы. Далее, выбирая какую-нибудь последовательность разбиений и , получим сходящиеся последовательности интегральных сумм sm(f+g), sm(f), sm(g), для которых будет выполнено равенство

sm(f+g) = sm(f) + sm(g).

Переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.

3)  Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

c f(x, y)dxdy =cf(x, y)dxdy.

Утверждение следует из соотношения s(cf,D, X)= cs(f,D, X) для любых интегральных сумм.

4)  Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| f(x,y)dxdy | £| f(x,y)|dxdy.

Доказательство. Из свойств модуля следуюет, что

wk(|f|) =sup||f(P)| –| f(Q)||£ sup|f(P)– f(Q) |= wk(f) .

Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм

|sm(f)|£ sm(|f|).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.

5)  Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.

Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)|£ M, |g(x,y)|£ M . Выполнено соотношение

f(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) =

= f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)).

Откуда следует неравенство wk(fg) £ Mwk(g) + Mwk(f) и, следовательно, функция fg интегрируема.

6)  Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точка, в которой f(P0)¹0.

Для заданного e >0 рассмотрим e-окрестность Ue точки P0. Если характеристика разбиения l(D)< e, то для любой интегральной суммы будет справедлива оценка

.

Это следует из того, что все отличные от нуля слагаемые суммы попадут в Ue.

Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также интегрируема и

= .

Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).

Замечание. Можно доказать, что справедливо утверждение: Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

7)  Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то

Для сходящейся последовательности интегральных сумм выполнено неравенство sm(f)£ sm(g), переходя к пределу в котором, получим неравенство для интегралов.

8)  Если mD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено

В этом случае все слагаемые в любой интегральной сумме будут равны нулю.

2.  Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.

Теорема 1. Если для интегрируемой функции f(x,y) справедливы неравенства m £ f(x,y) £ M на D, то существует cÎ[m, M]:

= c mD.

Доказательство. Для случая mD=0 утверждение справедливо для любого числа c согласно свойству 8). Пусть mD¹0. Тогда

m mD =dxdy £ £ dxdy = M mD.