ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 17 )

rot V = =(-1,-1,-1).

В качестве поверхности с краем C выберем круг сечения плоскостью x+y+z=0 шара x2+y2+z2£ a2 , ориентированный нормалью (1,1,1).

Тогда

= (rot V, dS)= (rot V, n) dS= dS= mФ= p a2.

Пример 2.(4369) Доказать формулу

=,

где Ф- область, лежащая в плоскости с единичной нормалью , ограниченная кривой , согласованно ориентированной с нормалью .

,

rot V = =(2cosa,2cosb,2cosg)=2.

=.

Пример 3. Вычислить . С- контур x=a sin2t, y=a sin t cos t, z=a cos2t, tÎ[0,p].

Контур лежит в плоскости x+z=a , далее , y2=x z , y2=x (a – x) , или . Таким образам, этот контур является эллипсом с полуосями .

rot V = , , , =

3.  Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве

Лемма. Для того, чтобы интеграл

(V, ds) (1)

не зависел от пути интегрирования Г (соединяющего две фиксированные точки А, В ) необходимо и достаточно, чтобы интеграл (1) был равен нулю для любого замкнутого контура, лежащего в области (циркуляция поля равна нулю по любому кортуру из области).

Доказательство для пространственной области проводится так же, как и в плоском случае.

Определение. Область D называется поверхностно односвязной, если для любой кусочно гладкой замкнутой кривой Г (контура Г), лежащей в D можно указать ориентированную допустимую поверхность Ф, расположенную в D, краем которой является Г.

Примеры. Шар является поверхностно односвязной областью. Тор не является поверхностно односвязной областью.

Теорема 1. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути в поверхностно односвязной области W, необходимо и достаточно, чтобы rot V =0 в области W.

Доказательство. Достаточность (дано: rot V =0 ) следует из формулы Стокса и сформулированной леммы. Здесь используется поверхностная односвязность области.

Необходимость. Предположим противное, существует точка М0 (её можно считать внутренней точкой области W), где rot V ¹ 0. Следовательно, одна из координат этого вектора в этой точке будет отлична от нуля. Пусть, например, это будет первая координата ротора: Найдется окрестность этой точки, в которой будет выполняться условие и которая будет лежать в W.
Сечение этой окрестности плоскостью перпендикулярной оси x и проходящей через точку М0 обозначим (круг радиуса e, ориентированный ортом оси x) , а его границу – через (окружность с согласованной ориентацией). Проекцию K на плоскость yOz обозначим D.

Используя формулу Стокса, получим противоречие:

= =

Пример. Вычислить , взятый по отрезку винтовой линии x=a cos j , y=a sin j , z= от А(а,0,0) до B(a,0,h).

rot V = =(0,0,0), поэтому интеграл не зависит от пути интегрирования и вместо винтовой линии выберем отрезок, соединяющий точки A, B. .

=.

Теорема 2. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути интегрирования в поверхностно односвязной области W , необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полным дифференциалом

Pdx+Qdy+Rdz = du.

Доказательство. Достаточность. Если Pdx+Qdy+Rdz = du , то , , . Откуда следует, что rot V =0 .

Необходимость. Определим функцию u по формуле

где – фиксированная точка в области W , а интегрирование ведется по некоторому пути, соединяющему точки и М. Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то определение корректно. Докажем, что таким образом определенная функция является искомой, т. е. , , . Вычислим производную непосредственно по определению.

Для отрезка ММ¢ используем параметризацию

Тогда

откуда и следует требуемое соотношение для частной производной . Аналогично проводится доказательства для других производных.

§4. Формула Остроградского-Гаусса

Определение. Объемно односвязной областью называется область W, удовлетворяющая следующему свойству. Любая замкнутая, кусочно-гладкая, не самопересекающаяся поверхность, расположенная в W , является границей области целиком лежащей в W. Можно сказать, что внутри области нет полостей.

Рассмотрим объемно односвязную область W и функцию R , определенную в этой области и имеющую там непрерывную производную . Границу этой области, ориентированную положительно, обозначим ¶ W .

Тогда справедлива формула Остроградского Гаусса

= .

При доказательстве этого равенства будем предполагать, что область W выпукла по z ( любая вертикаль пересекает W по отрезку или по пустому множеству). В этом случае область W можно описать, как геометрическое место точек следующего вида:

W = {(x,y,z):zÎ[z1(x,y),z2(x,y)] для любых (x,y)ÎD},

где z1(x,y),z2(x,y) – две непрерывные функции, определенные на D. В этом случае

= = =

+ + = .

Делая циклические перестановки переменных x® z® y, y® x® z, z® y® x