ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 14 )

.

4.  Существование и вычисление интеграла 1-го рода

4.1. Поверхность F задана явно z = z(x,y), (x,y)Î D (компакт), где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка, функция f(x,y,z) определена и непрерывна на F. Тогда существует интеграл , равный

=, p=, q=.

Доказательство. Пусть разбиению {Фk} соответствует разбиение {Dk} области D. Промежуточным точкам {Mk}, Mk Î Фk , соответствуют точки {Nk}, Nk Î Dk . Обозначим F(x,y)=f(x,y,z(x,y)). Для площадей получаем

mFk==.

Тогда интегральные суммы будут равны

s =

Первая из сумм является интегральной для , вторая сумма может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Последнее утверждение следует из равномерной непрерывности функции F(x,y)=f(x,y,z(x,y)) на D.

4.2. Поверхность задана параметрически

F:

с непрерывно дифференцируемыми функциями x(u,v), y(u,v), z(u,v). Вектор =(A,B,C) ¹ 0 в D.

f(x,y,z) непрерывна на F. Тогда поверхностный интеграл существует и равен

=.

Доказательство аналогично предыдущему. Поверхность разбивается на подобласти {Fk }, соответствующие разбиению {Dk } области изменения параметров D и выбираются промежуточные точки MkÎ Fk и соответствующие точки Nk Î Dk . Обозначим F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) . Тогда

mFk== И далее

s =

Первая сумма является интегральной для , вторая сумма будет стремиться к нулю при стремлении к нулю характеристики разбиения.

5.  Простейшие свойства интегралов первого рода

1) =mF.

2) a+b

3) =+

4) £.

Все эти свойства следуют из соответствующих свойств двойных интегралов, с учетом формулы сведения поверхностного интеграла к двойному.

§2. Поверхностные интегралы 2-го рода

1.  Определение стороны поверхности

Для поверхностей, которые нам встречались до сих пор можно ввести понятие стороны поверхности. Такие поверхности характеризуются, как двухсторонние поверхности. Их можно выкрасить в два цвета так, что один цвет не будет переходить в другой. Сторону поверхности можно определить, как множество всех единичных нормалей к поверхности таких, что любые две нормали данной стороны получаются одна из другой непрерывным движением по поверхности вдоль некоторой непрерывной кривой, лежащей на этой поверхности

Существуют поверхности, не обладающие подобным свойством. Такие поверхности называются односторонними. Примерами односторонних поверхностей могут служить лист Мёбиуса и «бутылка» Клейна.

Можно дать следующее определение односторонней и двухсторонней поверхностей. Поверхность называется двухсторонней, если выполнено следующее свойство: для произвольной точки поверхности при движении по любому замкнутому пути, лежащем на поверхности и выходящем из этой точки, мы возвращаемся в эту точку с тем же направлением нормали.

Если же существует хотя бы один замкнутый путь, двигаясь по которому мы вернемся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то такую поверхность называют односторонней. Предполагается, что при движении вдоль пути, нормаль изменяется непрерывно. Для листа Мебиуса такой линией, например, является продольная пунктирная линия (см. рис.). Если произвести разрез по этой линии, то поверхность не распадется на две части, как это может показаться на первый взгляд, а останется единой.

В дальнейшем, в этом курсе будут рассматриваться только двухсторонние поверхности.

Определение. Поверхность с выбранной стороной (совокупностью нормалей) называется ориентированной поверхностью.

Явно заданную поверхность F: z = z(x,y) называют положительно ориентированной, если косинус угла между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси положителен: cos (n,k) > 0. Поверхность F: y = y(x,z) называют положительно ориентированной, если косинус угла между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси положителен: cos (n,j) > 0. Поверхность F: x =x(y,z) называют положительно ориентированной, если косинус угла между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси положителен: cos (n,i) > 0. На рисунках показана положительная ориентация поверхностей в каждом из этих трех случаев.

Для замкнутой поверхности, положительной ориентацией называется выбор внешней нормали

Ориентацию поверхности Ф иногда будем обозначать or Ф (or Ф =1 или or Ф =-1).

2.  Определение поверхностного интеграла 2-го рода

Рассмотрим непрерывно дифференцируемую поверхность Ф: z = z(x,y) на D с выбранной стороной, определяемой набором единичных нормалей. Для заданного разбиения {Фk} этой поверхности и набора промежуточных точек {Мk} обозначим nk единичную нормаль в точке Мk к поверхности Ф. Через Dk обозначим проекцию Фk на плоскость x y. Для функции f , определенной на Ф рассмотрим интегральные суммы вида

s = sign cos(k, nk).

Здесь k - орт оси Oz.

Замечание. Отметим, что в данном определении множитель sign cos(k, nk) не зависит от k и может принимать лишь два значения, в зависимости от ориентации поверхности, либо 1, либо –1.

Таким образом, интегральные суммы будут равны s = or Ф .

Поверхностным интегралом 2-го рода называется предел сумм s при стремлении к нулю характеристики разбиения, при условии, что этот предел не зависит от выбора разбиения и промежуточных точек. Обозначается интеграл

=

Замечание. Если Ф-­ та же поверхность с противоположной ориентацией, то

= .

Аналогично определяются интегралы dydz , dzdx , в случае, если поверхность однозначно проектируется на соответствующие координатные плоскости. Интегральные суммы будут иметь вид sign cos(i, nk), sign cos(j, nk). i, j –орты координатных осей Ox, Oy. -проекции областей разбиеният на соответствующие координатные плоскости.