ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 24 )

i = ej , ei = j Þ = (5)

Равенство = в развернутом виде выглядит следующим образом

=,

Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.

j = ei , ej = i Þ = (6)

Последнее равенство в матричном виде:

=.

Умножая первое равенство из (5) на ek , а второе равенство из (6) на k получим выражения для матриц перехода между базисами

(ek , i )= ( j , i )= = .

Таким образом, = . Аналогично показывается, что = . Равенства (5), (6) перепишутся в виде

i = ej , ei = j (7)

j = ei, ej = i (8)

Равенства (7), (8) в развернутом виде:

=,	=	(7)
= ,	=	(8)

Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, для контравариантных координат.

Имеем x = i i = ei x i или x= = . Подставляя во второе равенство ei из (7) получим

x = j x i , откуда j j = j xi и j = xi.

Аналогично из равенств , ek = I получаем, откуда . Таким образом,

= , =.

Полученные формулы j = xi , позволяют сформулировать правило: координаты векторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и вектора сопряженного базиса

i = ej	ei = j
j = ei	ej = i
j = xi	xj =

§2. Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

1.  Введение

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. С исходной декартовой системой координат xyz ( или x1x2x3 ) связана криволинейная система координат x1x2x3 отображением

или

Это отображение предполагается невырожденным, непрерывно дифференцируемым и имеющим отличный от нуля якобиан. Обратное отображение имеет вид

.

Согласно правилам дифференцирования сложных функций справедливы соотношения или в матричном виде

= .

Здесь использованы следующие обозначения для матриц Якоби и ковариантных, контравариантных векторов:

,

звездочкой внизу обозначены ковариантные координаты.

Таким образом, вектора являются сопряженными к

ri = , т. е. rj = .

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:

uk=,

2.  Выражение градиента в криволинейных координатах

Для скалярного поля u градиент в декартовой системе координат равен

grad u = . По формуле дифференцирования сложной функции

=(grad u , ri ) = ui . По формулам Гиббса

grad u = (grad u, ri ) ri =ui ri.

Откуда для ортогональной системы координат

grad u = ui ri = ui = ui .

3.  Выражение дивергенции в криволинейных координатах

Обозначим V = Pi +Qj + Rk , Vi = = , тогда

div V = =++=

= +

+ +

В ряде случаев приходится рассматривать разложение исходного поля V по базису ek : V = ek Ak . В этом случае предварительно вычисляют производные Vk и полученные выражения подставляют в формулу для данной операции, например, в формулу div V = . Можно показать, что