ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 32 )

Этот гиперконус можно строить в любой точке пространства событий и направление (вектор отложенный из этой точки) из этой точки, идущее по образующей такого гиперконуса называется изотропным направлением, а вектор - изотропным вектором.

§2. Пространство событий

1. Преобразование Лоренца

Пусть и две инерциальные системы и двигается со скоростью относительно системы . Преобразование Лоренца определяет связь координат и в системах

В терминах координат эти преобразования записываются в виде

Или в матричной форме

(3.1)

2. Кинематика тела с точки зрения теории относительности

Рассмотрим какую либо частицу. В инерциальной системе этой частице в пространстве событий будет соответствовать некоторая кривая, называемая траекторией (четырехмерной) этой частицы. Выберем параметрическое задание этой кривой с параметром ().

В псевдоевклидовом пространстве можно определить длину кривой, как и в обычном евклидовом пространстве. Именно, за длину кривой принимается предел длин вписанных ломаных при стремлении к нулю характеристики соответствующих разбиений (должна стремится к нулю длина максимального отрезка узлов вписанной ломаной). В отличии от евклидова пространства, здесь длины хорд, участвующих в определении длины всей кривой, могут оказаться нулевыми или мнимыми. Будем рассматривать лишь случаи, когда все хорды (при любом разбиении) имеют либо только вещественные длины, либо только мнимые длины. В первом случае длины хорд

вещественны, т. е.

и в определении длины дуги нет ничего необычного. Длина кривой будет равна (гладкость кривой предполагается)

Если

трактовать, как движение материальной точки, то необычным является только то, что в этом случае и это соответствует движению со скоростью большей скорости света. Во втором случае длина кривой будет чисто мнимой. Действительно, длина отдельной хорды может быть выражена в виде

В правой части подкоренное выражение будет положительно. Здесь мы в качестве корня из минус единицы ( ) выбираем . Тогда, так же, как и в евклидовом пространстве для непрерывно дифференцируемой кривой получается формула для длины спрямляемой кривой

где является уже вещественной. Для элемента длины дуги будет выполнено равенство

Для кривых с вещественной не нулевой длиной можно выбрать в качестве параметра длину кривой

Как известно, в этом случае для радиус вектора кривой модуль производной по длине дуги будет равен единице

Единичный вектор касательной будем обозначать

Для кривой с мнимой длиной выберем в качестве параметра . Тогда

(2.1)

Следовательно.

Здесь, как мы уже договаривались, для выбирается только . Теперь вектор касательной к траектории частицы в пространстве событий имеет мнимую длину. Сам этот вектор является обычным вектором с действительными координатами. Отметим, что траектория частицы в последнем случае всегда направлена внутрь изотропного гиперконуса, построенного в текущей точке. Наоборот, кривые в пространстве событий с неизотропными касательными не могут быть интерпретированы, как движения реальных тел. Иначе, они бы соответствовали движению со скоростями, превышающими скорость света. Фотон, если рассматривать его, как частицу, будет иметь траекторию в пространстве событий с вектором касательной в каждой точке, параллельной образующей изотропного гиперконуса в этой точке.

Траектория в пространстве событий, описывающая «жизненный путь» материальной точки, в своем параметрическом задании опирается на некоторую инерциальную систему , однако является геометрическим объектом, и как таковой, не зависит от выбора инерциальной системы отчета.

Как мы видели, для траектории событий, определяемой движением частицы

Для дифференциала получим

Если систему отчета привязать к движущейся частице, то в этой системе

и (движение выбрано в направлении роста времени, - растет со временем). Таким образом, изменение времени в системе, связанной с движением частицы определяется величиной . Отсюда следует, что величина имеет физический смысл «собственного внутреннего времени», связанного с системой отчета, привязанной к частице.

В заключение выпишем выражения координат мнимоединичного вектора касательной траектории в пространстве событий, определяемой движением частицы со скоростью

Из (2.1) получаем

Считая возрастающей для координат вектора имеем

(2.2)

3. Вектор энергии-импульса частицы

Рассмотрим движение материальной точки (частицы) в инерциальной системе . Отметим некоторые положения теории относительности.

Масса частицы, двигающейся со скоростью равна

,

- масса покоя. Энергия частицы связана в ее массой соотношением

.

Сравнение с энергией покоя дает кинетическую энергию

Для траектории частицы в пространстве событий выберем в качестве параметра собственное внутреннее время частицы

В качестве касательного вектора к этой траектории будем рассматривать мнимоединичный вектор касательной , умноженный на энергию покоя , который называется вектором энергии-импульса частицы. Выпишем координаты этого вектора.

Из определения