ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 19 )

Формула Остроградского Гаусса

связывает количество вытекающей жидкости через границу области с тройным интегралом от дивергенции. Если в качестве области рассмотреть шар, стягивающийся в точку, то мы получим

откуда

Величина справа имеет смысл обильности источника. Таким образом, неравенство нулю дивергенции означает наличие в данной точке источника или стока, в зависимости от знака дивергенции.

Известно, что поток векторного поля магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю . Отсюда следует, что (уравнение Максвелла) и, таким образом, в природе не существует источников магнитного поля (магнитных зарядов).

В терминах потока жидкости можно сформулировать и формулу Стокса. Предположим, векторное поле скоростей стационарного потока жидкости является соленоидальным. Тогда поток этого векторного поля через заданную поверхность равен циркуляции векторного потенциала этого поля по краю этой поверхности в направлении, согласованном с направлением потока через поверхность. Например, для векторного поля напряженности магнитного поля

, циркуляция напряженности магнитного поля по краю поверхности Ф равно полному току I , протекающему через поверхность Ф (уравнение Максвелла).

Теорема. Для того, чтобы поле было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы .

Необходимость. Если , то непосредственной проверкой можно убедиться, что ( = 0, соленоидальное поле не имеет источников).

Достаточность. Будем искать частное решение уравнения

(P,Q,R)= или .

Решение будем искать среди «плоских» полей, удовлетворяющих условию c = 0. Тогда система упростится и примет вид

.

Первое и второе уравнения интегрируем по z

b = - , a = .

Еще раз сузим множество поиска, полагая y = 0. Дифференцируя полученные уравнения по x и по y, получим

, .

Откуда получим

R = - = = =R(x,y,z)- R(x,y,z0)+ .

Таким образом, = R(x,y,z0), откуда j =+D(y). Частное решение найдено в виде

a = , b = - ++D(y), с = 0, где D – произвольная, непрерывно дифференцируемая функция одного переменного.

Замечание 1. Если векторный потенциал поля , то = + grad u также будет векторным потенциалом для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции u(x,y,z).

Замечание 2. В случае соленоидального поля поток этого поля через любое сечение векторной трубки постоянен.

Действительно, по формуле Остроградского Гауссакроме того Откуда или

§6. Дифференциальные операторы

Как и раньше для обозначения вектора используются обозначения a либо .

1.  Дифференциальные операторы 1-го порядка

1)  Оператор набла = i + j + k .

u= i + j + k = grad u.

Свойства

f(u) = f¢(u) u.

Пример 1. , r = , r = .

Пример 2.

Пример 3. Таким образом, гравитационное поле потенциальное и его потенциал равен .

2)  Дивергенция div V = (,V ) = , V=(P,Q,R).

Свойства

(,aV+bW ) =a(,V )+b (,W )

(,fV ) =f (,V )+ (f,V )

Пример 4. = (, )= (, )+ ( )= +( , ) = 0. Это следует и из примера 3.

Пример 5. Пусть =(x-x, 0 y-y0, z-z0) , ,где (x0, y0, z0) – фиксированная точка. Тогда div = . Имеем =(P,Q,R)= ,

=, =, =, откуда следует требуемое равенство.

Пример 6 (4391). Доказать, что =, где =(x-x0, y-y0, z-z0) и точка не лежит на границе области. Отметим, что .

Рассмотрим сначала случай, когда точка М0 не лежит в области W. Тогда по формуле Остроградского Гаусса

====.

В случае, когда М0 лежит внутри области W , окружаем ее сферой достаточно малого радиуса e так , чтобы она целиком лежала внутри W. Эту сферу, ориентированную отрицательно, обозначим Фe . Шар радиуса e с центром в М0 обозначим Ke . Через We обозначим область W , из которой удалена шаровая полость Ke . К области We можно применить формулу Остроградского Гаусса