ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 28 )

Другими словами, пусть заданы m векторов Определим произведение соответствующих тензоров

Затем полученный тензор альтернируется

Объект, определяемый этим тензором называется простым m - вектором или косым произведением соответствующих векторов обозначается

Перечислим некоторые свойства m векторов.

При перестановке двух векторов знак косого произведения меняется.

Если в косом произведении есть два одинаковых вектора, то косое произведение равно нулю.

Косое произведение линейно по каждому из своих аргументов

Для линейной зависимости векторов, входящих в косое произведение необходимо и достаточно равенства нулю их косого произведения.

Рассмотрим косое произведение из m=n векторов. Среди координат такого тензора ненулевыми будут только координаты с наборами индексов , являющихся перестановкой натуральных чисел Действительно, если в наборе какие-либо два индекса совпадают, то в матрице

участвующей в определении косого произведения будут два одинаковых столбца. Таким образом, любая ненулевая координата будет равна

Таким образом, всякий n – вектор имеет с точностью до знака лишь одну существенную координату Выпишем закон преобразования координат тензора при переходе к новому базису для ненулевых координат

Следовательно, для единственной существенной координаты закон ее преобразования при переходе к другой системе координат будет выглядеть следующим образом

Определение свертки. Рассмотрим тензор типа (q,p). Свертка по индексам определяется по формуле

Этот объект будет тензором типа (q-1,p-1). Действительно,

.

При некоторых дополнительных условиях свертку можно было бы производить и по индексам, находящимся на одном уровне. Например, свертка по второму и предпоследнему индексам нижнего уровня может быть определена по формуле

Доказательство проведем для более удобного расположения свертываемых индексов.

Действительно,

.

При выводе использовалось условие ортогональности матрицы , в частности, условие Это условие означает, что в качестве допустимых преобразований рассматриваются только повороты вокруг начала координат.

Операция свертки может производится и по разным парам индексов. Например, заданы тензоры и произведение тензора самого на тензор себя: ( ). Можно определить тензор нулевой валентности, как свертку по парам индексов

Проверим это еще раз в данном частном случае:

Операция свертки может использоваться для получения инвариантов тензора ( функций от координат тензора, которые не меняются при переходах к новым системам координат.

Например, для двухвалентного тензора типа (1,1) свертка является тензором нулевой валентности, т. е. константой. Эта величина называется следом тензора. Она же является следом матрицы (так же следом оператора, имеющего эту матрицу).

4.  Метрический тензор.

Метрический тензор определяется по формулам gij = (ei , ej), gij=(ei,ej), где ei , ei – два взаимных базиса в евклидовом пространстве Х. Ранее были выведены формулы Гиббса

x = (x, ek)ek, x = ek (x, ek) ,

откуда следует, что

ej = (ej, ek)ek=gjk ek, ej = ek (ej, ek)= ek gjk.

Если x = xj ej , y = yk ek , то скалярное произведение

(x, y) = xj yk (ej, ek)= xj yk gjk – билинейная форма ( тензор типа (2,0) ).

Аналогично, если x = ej x j , y = ek yk , то скалярное произведение

(x, y) =( ej , ek) x j yk = gjk x j yk – билинейная форма ( тензор типа (0,2) ).

Положим , x = ej x j , y = yk ek, тогда

(x, y) =( ej x j , yk ek )= yk ( ej , ek ) x j - билинейная форма ( тензор типа (1,1) ).

Отметим, что являются тензорами типа (2,0),(0,2) соответственно. Действительно, Тогда . Аналогично, и .

Определение. Тензоры gij = (ei , ej), gij=(ei,ej), называются метрическими тензорами в евклидовом пространстве Х.

Тензоры gij , gij очевидно симметричны. С помощью метрических тензоров можно определить операцию поднятия индекса i1

,

и операцию опускания индекса j1

.

Пример. Тензор момента инерции материальной точки. В качестве преобразований перехода к новой системе координат будем рассматривать повороты относительно начала координат. Материальная точка m с контравариантными координатами и ковариантными координатами удалена от начала координат на величину

которая, таким образом, является константой - тензором нулевой валентности. Можно предполагать (хотя это не обязательно), что базисы ортонормированны (с этом случае матрицы , связывающие базисы и координаты будут ортогональными). Величина

является константой (не зависит от указанных поворотов), является тензором нулевой валентности. Составим матрицу (тензор типа (1,1))

где - символ Кронекера (единичная матрица, она же, матрица единичного оператора, она же тензор типа (1,1)). Этот тензор является симметрическим и называется тензором момента инерции материальной точки. Это определение можно обобщить на систему материальных точек , расположенных на фиксированных расстояниях друг от друга. Координаты этих точек будем обозначать , расстояния до начала координат .