ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 4 )

Откуда

и c=.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD:

dxdy = f(x)mD.

Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1ÈD2 (разбиение произведено некоторой линией), то f(x) – интегрируема на D1 и D2 и

dxdy = dxdy + dxdy .

Доказательство. Докажем сначала, что функция будет интегрируема на D1. Возьмем произвольное . Для него существует такое, что при будет выполнено неравенство S(f,D) – s(f,D)< . Покажем, что для любого разбинения D1 области D1, удовлетворяющего условию также будет выполнено неравенство S(f,D1) – s(f,D1)< . Пусть D1 - разбиение D1 с характеристикой . Дополним это разбиение до разбиения D всего D так, чтобы характеристика разбиения не изменилась l(D) = l(D1) . В этом случае S(f,D1) –s(f,D1) £ S(f,D) – s(f,D) , откуда следует неравенство S(f,D1) – s(f,D1)< . Таким образом, интегрируемость на D1 доказана. Аналогично доказывается интегрируемость функции на области D2 . Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать последовательность разбиений , областей D1 , D2 со стремящимися к нулю характеристиками и наборами произвольными наборами промежуточных точек . Таким образом, получим две сходящиеся последовательности интегральных сумм s( f, ,), s( f, , ) для D1 и D2 . Для объединения разбиений Dm = + и тоже получим сходящуюся последовательность интегральных сумм s( f,Dm, X m). Для этих сумм имеет место соотношение

s( f,Dm, X m) = s( f, ,)+ s( f, , ).

Переходя к пределу в этом равенстве при , получим требуемое соотношение между интегралами.

Теорема 3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция интегрируема на P и

=.

Доказательство. Следует из свойства аддитивности по множеству. Так как функция интегрируема на D, то она ограничена |f|£ M. Пусть e0 >0. Так как область D квадрируема, то существует окрестность U (открытое множество) ее границы ¶D c площадью m(U) < e0 , ¶DÌ U . Можно показать, что существует e раздутие границы ¶D , лежащее внутри U. Это e раздутие границы ¶D , представляющее собой объединение e окрестностей всех точек границы, обозначим через Ue. Так как функция интегрируема на D, то существует d такое, что

S(f,DD) - s(f,DD) < e0 при l(DD)<d, (1)

где DD – разбиение области D. Пусть разбиение DP области P выбрано с характеристикой . Разобьем разность сумм Дарбу на три суммы

S(F,DP)-s(F,DP)= =å¢ +墢 +墢¢.

В первой сумме å¢ суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества разбиения Pk пересекаются с границей ¶D. Ко второй сумме 墢 относятся слагаемые, для которых Pk содержатся в D, за исключением слагаемых, попавших в первую сумму. В третьей сумме 墢¢ содержаться все остальные слагаемые. Отметим, что в третью сумму попадают только слагаемые, равные нулю. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм.

墢 < e0 в силу (1).

墢¢ = 0, так как в области, где проходит суммирование F=0.

å¢ < 2M墢¢mPk <2Mm(U) < 2M e0.

Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости для функции F на P.

Для доказательства равенства = следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входила граница области D, а промежуточные точки выбирать внутренними для каждой из подобластей разбиения. В этом случае для областей разбиения Pk, не попадающих в D , будет выполнено условие F(Mk)=0 , соответствующие слагаемые F(Mk)mPk будут равны нулю и интегральная сумма по множеству P совпадет с интегральной суммой по множеству D

.

Теорема (Неравенство Коши-Буняковского).

Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство

.

Доказательство.

0£=+2

Так как это справедливо для любых l, то -£ 0, откуда и следует требуемое неравенство.

§6. Вычисление двойных интегралов

1.  Интегрирование по прямоугольнику

Рассмотрим прямоугольник D=[a, b]´[c, d]={(x, y):a £ x £ b, c £ y £ d }.

Теорема. Если f интегрируема на D и для "x существует ), то существует

и выполнено равенство

=.

Интеграл принято обозначать и называть повторным в отличие от интеграла , который называется двойным.

Доказательство. Для заданных разбиений Dx={a=x0<…<xn=b}, Dy={c=y0<…<ym=d} рассмотрим разбиение D ={ Dij} области D, где Dij=[xi, xi+1]´ [yj, yj+1],введем обозначения

, X={(xi, hj)}, xiÎ[xi, xi+1], hjÎ[yj, yj+1],

Dxi=xi+1 – xi, Dyj=yj+1-yj. Тогда будут выполнены неравенства

mij £ f(x, y) £ Mij для (x, y)ÎDij (1)

(2)

(3)

Умножая неравенства (3) на Dxi и суммируя, получим

При l(D)®0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу , средняя сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.