ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 18 )

можно получить еще две формулы для областей выпуклых по другим осям.

= ,= .

Если область W удовлетворяет всем трем условиям одновременно и в области задано поле V=(P,Q,R) c непрерывными частными производными по соответствующим переменным, то эти три формулы можно собрать в одну

= .

Дивергенция векторного поля определяется по формуле div V = .

Тогда, используя векторные обозначения, формулу Остроградского-Гаусса можно записать в виде

Формула Остроградского Гаусса будет верна и для областей допускающих разбиение на конечное число областей указанного типа.

Пример 1 . Вычислить I = (x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy, где Ф : .

По формуле Остроградского Гаусса I =3. Сделаем замену переменных

, в этом случае в новых координатах граница области будет определяться уравнением : |u|+|v|+|w|=1. Якобиан отображения равен

4, , поэтому I = =

= 2 =1.

Пример 2 (4381) Доказать, что если Ф – замкнутая простая положительно ориентированная поверхность, то =0, где - постоянное векторное поле. Утверждение непосредственно следует из формулы Остроградского-Гаусса.

Пример 3 (4382). Объем тела равен

, где ¶W – положительно ориентированная граница области W.

Утверждение непосредственно следует из формулы Остроградского-Гаусса.

Пример 4 . Объем конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью F(x,y,z)=0 и плоскостью равен , где - площадь основания, h – высота.

Поместим начало координат в вершину конуса. Боковую поверхность конуса, ориентированную внешней нормалью обозначим Ф1 , а основание, ориентированное нормалью обозначим Ф2 . Тогда

= = )+ Для боковой поверхности конуса скалярное произведение и . Для поверхности основания конуса , поэтому .

Пример 5 (4390). Вычислить , где Ф – часть конической поверхности x2+y2=z2 , 0£ z £ a , ориентированной внешней нормалью, а поле . Дополним поверхность до замкнутой. Основание, ориентированное нужным образом обозначим Ф0 .

=====. . Таким образом, .

§5. Элементы теории поля

1.  Введение

Для вектора будет использоваться обозначение a или . Функция u(x, y,z) , заданная в области W, называется скалярным полем. В случае задания трех функций P,Q,R можно говорить о векторном поле =(P,Q,R). Градиент скалярного поля u , определяется как векторное поле

= grad u = . Функция u называется потенциалом векторного поля , а само поле называется потенциальным. Связь между потенциалом и координатами векторного поля задается соотношением du=Pdx+Qdy+Rdz . Интеграл для замкнутой кривой С называется циркуляцией векторного поля по C. Замкнутая кривая называется контуром, а интеграл по контуру обозначается и представляет собой работу векторного поля вдоль этого контура. Поле называется безвихревым, если его ротор равен нулю.

Определение. Поле называется соленоидальным, если для него существует векторное поле такое, что = rot . Такое векторное поле называется векторным потенциалом поля .

Ранее доказанные утверждения можно сформулировать в виде теоремы

Теорема (Условия потенциальности поля) . Пусть в поверхностно односвязной области W задано непрерывно дифференцируемое поле =(P,Q,R). Тогда эквивалентны следующие три условия

1.  Циркуляция векторного поля равна нулю вдоль любого контура, лежащего в W.

2.  Поле потенциальное, т. е. существует дважды непрерывно дифференцируемая функция, градиентом которой и является данное поле. При этом

3.  Поле безвихревое.

2.  Поток векторного поля

Будем считать, что =(P,Q,R) – это поле скоростей (рассматривается стационарный поток жидкости). Векторной линией поля называется линия, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению с вектором .

Совокупность всех векторных линий данного поля, проходящих через некоторый контур, называется векторной трубкой. Уравнения, определяющие векторную линию

Количество жидкости, протекающей через малую площадку S, перпендикулярную потоку жидкости за единицу времени равно для наклонной площадки это будет

Составляя интегральные суммы вида и переходя к пределу можно получить выражение для количества жидкости протекающей через ориентированную поверхность Ф в направлении ее нормали в единицу времени. Эта величина называется потоком векторного поля через ориентированную поверхность Ф и она равна интегралу