ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 31 )

можно интерпретировать следующим образом: с элементарным объемом жидкости происходит деформация ( оператор B ) и элементарное вращение с вектором угловой скорости rot V. Оператор B называется оператором скоростей деформации, а тензор - тензором скоростей деформации.

5.  Поток линейного оператора через поверхность.

Пусть A(M) (иногда будем обозначать ) линейное поле (тензорное поле с координатами (M)) и S – некоторая поверхность. Обозначим через координаты единичного вектора нормали к поверхности

Обозначим поток векторного поля A через поверхность S через p

Отметим отличие указанного интеграла от случая потока векторного поля. Именно, для потока векторного поля (тензор первой валентности) интеграл можно записать, как поверхностный интеграл первого рода в виде (это будет число)

В случае тензорного поля валентности 2 типа (1,1) с координатами координаты вектора

запишутся в виде

Рассмотрим линейный оператор напряжения F с координатами (координаты тензора напряжения), характеризующий силы напряжения в некоторой сплошной среде. Тогда поток этого тензорного поля через заданную поверхность S

представляет собой равнодействующую всех сил напряжения, приложенных к поверхности S.

6.  Теорема Остроградского

Для тензорного поля валентности 2 типа (1,1) с координатами справедливы равенства координат

Эти равенства представляют три обычные формулы Остроградского. Выпишем еще раз написанную формулу Остроградского в терминах координат тензорных полей

Глава 8. Приложения

§1. Аффинное пространство, евклидово и псевдоевклидово пространства

1. Определение - мерного аффинного пространства

Рассматриваются два типа объектов точки и векторы, определяемые набором нижеследующих аксиом.

10 существует хотя бы одна точка

20 упорядоченной паре точек сопоставляется единственный вектор, обозначаемый .

30 для каждой точки и каждому вектору существует единственная точка такая, что .

40 (аксиома параллелограмма) если , то .

Определение. Вектор носит название нулевого вектора и обозначается .

Определение. Вектор носит название обратного к вектора и обозначается .

Определение. Для двух векторов по аксиоме 30 начиная с точки можно определить вектор, который называется суммой и обозначается . Строится точка так, что . По и строится точка . В качестве суммы берется вектор . Можно показать, что сумма не зависит от выбора начальной точки.

Теорема. .

Теорема. .

Теорема. .

Теорема. .

Определяется вычитание.

Следующая группа аксиом касается векторов над полем чисел (вещественных или комплексных).

50 каждому и каждому числу поставлен в соответствие определенный вектор, обозначаемый .

60

70

80

90

100 (аксиома размерности) существует линейно независимых векторов, но любые векторов линейно зависимы.

Определение. Аффинным репером называется совокупность какой-нибудь точки (начало репера) и каких-нибудь занумерованных линейно независимых векторов .

2. Псевдоевклидово пространство

Вещественным евклидовым пространством называется линейное пространство со скалярным произведением. Скалярное произведение определяется, как вещественная функция на , удовлетворяющая следующим аксиомам:

1)  тогда и только тогда, когда

2) 

3) 

4) 

Разумеется выполнение аксиом предполагается для всех участвующих там элементах пространства.

Если в этом определении не требовать вещественности скалярного произведения и выполнения первой аксиомы, то подобное пространство называется псевдоевклидовым (линейное пространство по-прежнему предполагается вещественным). Для такого пространства скалярный квадрат может быть равен нулю и при не нулевом векторе. Кроме того скалярный квадрат может быть отрицательным.

Теория относительности предлагает рассматривать окружающее нас пространство, как четырехмерный пространственно временной континуум. Координаты такого пространства будем обозначать (в контравариантном виде) , а скалярное произведение определяется равенством

Более употребительны обозначения координат в которых первая временная координата нормируется скоростью света . Скалярный квадрат

Наличие в этой квадратичной форме одного слагаемого со знаком минус отражается в названии подобного пространства - псевдоевклидово пространство индекса 1.

Точка с координатами в момент времени называется событием, а четырехмерное пространство-время называется пространством событий. Свойства псевдоевклидова пространства, как линейного пространства ничем не отличаются от обычных свойств линейных пространств. Однако метрические свойства оказываются весьма необычными. Не нулевые вектора со скалярным квадратом равным нулю называются изотропными. Если в некотором базисе такие вектора откладывать из начала координат, то множество вершин этих векторов образует гиперконус