ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 16 )

Требуется вычислить интеграл

Плотность распределения массы r возьмем равной 1. Для вычисления последнего интеграла воспользуемся сферическими координатами. Найдем длину вектора нормали для сферических координат x=a cosq cosj , y=a cosq sinj , x=a sinq

=a2(cos2q cosj, cos2q sinj, sinq cosq), =a2 cos q.

Эта величина равна модулю якобиана отображения, определяемого сферическими координатами.

Тогда, используя сферические координаты для параметрического задания верхней полусферы, (область изменения параметров - прямоугольник )

Пример 3 . Найти координаты центра тяжести однородной поверхности, лежащей на конусе , вырезанной цилиндрической поверхностью .

Координаты центра тяжести:

Считаем плотность распределения масс равной 1. Для вычисления интегралов воспользуемся цилиндрическими координатами. Вес поверхности

=====.

=

Последнее равенство получено из соображений симметрии. Для второго интеграла имеем:

===y==. Z=.

Пример 4.

Вычислить , Ф - внешняя сторона сферы x2+y2+z2=a2.

(V,dS) = (V,n) dS===amФ=.

Пример 5.

Вычислить , Ф - внешняя сторона эллипсоида . Для вычисления интеграла воспользуемся декартовыми координатами: . Тогда

. . Обозначим через D - верхний полуэллипсоид, а через D его проекцию на плоскость xOy. Учитывая ранее сделанное замечание и симметрию относительно координатных осей, получим

=2==

===

==.

§3. Формула Стокса

1.  Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y)

Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф, однозначно проектируемую на все координатные плоскости. Пусть эта поверхность имеет задание z = z(x, y), (x, y)ÎDz относительно переменных x,y. Через Г обозначим край этой поверхности с согласованной ориентацией.

Согласованной ориентацией называется такая, что при обходе края поверхности в этом направлении с выбранной нормалью, поверхность остается слева.

Пусть P(x,y,z) задана и непрерывна на Ф и имеет там непрерывные частные производные Тогда имеет место равенство

Доказательство проведем для положительно ориентированной поверхности

Обозначим P*(x, y)=P(x, y,z(x, y)). Отметим, что Это следует из формулы вычисления криволинейного интеграла. Действительно, рассмотрим параметризацию кривой g.

g : tÎ[a, b] тогда G : tÎ[a, b].

Тогда ==,

=.

По формуле Грина

Здесь использовалось соотношение между направляющими косинусами единичной нормали

cos b = , cos g = , откуда q cos g = - cos b.

Замечание. Доказанная формула будет верна и для допустимых поверхностей, то есть для поверхностей, допускающих разбиение на части, однозначно проектируемые на все координатные плоскости.

2.  Формула Стокса для векторного поля.

Пусть Ф допустимая, ориентированная поверхность и V=(P,Q,R) непрерывное на Ф поле, Г-край этой поверхности с согласованной ориентацией.

Из доказанной формулы формальной заменой z на y, y на x, x на z, P на R (см. рисунок, заменяем 1 на 2) получим .

Точно так же заменой z на x, y на z, x на y, P на Q (см. рисунок, заменяем 1 на 3) получим . Складывая полученные выражения, получим

=.

Векторная запись формулы Стокса. Ротор определяется по формуле

rot V = .

Тогда формула Стокса запишется в виде

(V, ds) = (rot V, dS)= .

Циркуляция векторного поля по краю поверхности равна потоку ротора через эту поверхность. Подробнее о смысле этой терминологии будет сказано позже.

Пример 1.(4367) Вычислить , С- окружность x2+y2+z2=a2, x+y+z=0 , проходимая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.