ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 29 )

Тензором момента инерции этой системы материальных точек называется сумма тензоров моментов инерции отдельных точек

Выясним физический смысл тензора момента инерции. Рассмотрим единичный вектор с ко и контравариантными координатами некоторой оси, проходящей через начало координат. Отметим следующие равенства, используемые в дальнейшем:

откуда следует: ,

откуда следует:

Свертка тензора момента инерции с тензорами :

По теореме Пифагора выражение в квадратных скобках представляет собой квадрат расстояния - ой точки до оси и правая часть является суммой моментов инерции точек нашей системы относительно данной оси.

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей через начало координат, равен свертке тензора момент инерции тела с тензорами оси (слева с ковариантным, справа с контравариантным).

Координаты тензора момента инерции, будучи симметричной матрицей, определяют самосопряженный оператор, у которого существует ортонормированный базис из собственных векторов. Эти собственные вектора определяют главные оси инерции. В этих осях тензор моментов инерции будет определятся диагональной матрицей с собственными значениями на диагонали.

Пример. Разложение тензора валентности два на сумму симметрического и кососимметрического тензоров.

Это свойство следует из соответствующего свойства линейного оператора раскладываться в сумму самосопряженного и кососимметрического операторов

A A + A *)+( A - A *)=B+C,B=( A + A *),C=( A - A *).

В этом равенстве A* сопряженный к A оператор, B будет самосопряженным оператором ((Bx,y)=(x,By)), а C – кососимметрический оператор ((Cx,y)=-(x,Cy)). В терминах тензоров: пусть координаты двухвалентного тензора типа (1,1). Матрицу рассматриваем, как матрицу линейного оператора y=Ax в базисе . Это значит, что

A

или в матричной форме

(A A A)=().

В контравариантных координатах действие оператора A будет выглядеть следующим образом:

A A A

Из последних двух равенств следует формула преобразования контравариантных координат:

или

На это соотношение можно смотреть, как на умножение исходного тензора на одновалентный тензор контравариантных координат с последующей сверткой по разноуровневому индексу. Построим два новых тензора. В координатах:

Можно проверить, что тензор B (построенный симметрированием исходного тензора) является симметричным тензором, а тензор С, построенный альтернированием исходного тензора, является кососимметричным. Разложение

единственно. Действительно, если тензор с координатами имеет другое разложение где то производя операции симметрирования и альтернирования, получим равенства: Если вспомнить физическую интерпретацию симметрических и кососимметрических тензоров, то можно сказать, что двухвалентный тензор (представленный линейным оператором) разлагается на сумму тензоров деформации и поворота. Поворот производится вокруг оси u, где u – вектор, фигурирующий в определении векторного произведения [u,x]=Cx .

§3. Полилинейные формы и их связь с тензорами

Пусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением) размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1). Обозначим xk = ej , y s = ei.

Определение. Функция F(y,x)=F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp) от q контравариантных и p ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (q,p) – полилинейной формой ), если она линейна по каждому аргументу.

Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двух форм типов (q,p),(s,r) дает форму типа ( q+s ,p+r):

H(y1,y2,…,yq+s,x1,x2,…,xp+r)=F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp) G(yq+1,yq+2,…,yq+s,xp+1,xp+2,…,xp+r).

Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа

Или

Рассмотрим наборы векторов x1= , x2= ,…, xp= ,y1= , y2= ,…, yq= . Координаты полилинейной формы в новом базисе = и = будут равны

====,

или, в краткой форме:

Таким образом, полилинейная форма типа (q,p) является тензором типа (q,p).

Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.

Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp), рассмотрим новую форму