ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 1 )

ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Лекции. Факультет ЭТФ. 3 семестр.

Оглавление

Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл. 4

§1. Двойной интеграл. 4

1. Определение двойного интеграла. 4

2. Геометрический смысл двойного интеграла. 4

§2. Суммы Дарбу и их свойства. 4

1. Определения. 4

2. Свойства сумм Дарбу. 4

§3. Критерий интегрируемости. 4

1. Нижний и верхний интегралы. 4

2. Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу. 4

§4. Классы интегрируемых функций. 4

§5. Свойства определенного интеграла. 4

1. Простейшие свойства. 4

2. Теоремы о среднем, аддитивность по множеству. 4

§6. Вычисление двойных интегралов. 4

1. Интегрирование по прямоугольнику. 4

2. Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию.. 4

§7. Замена переменных в двойном интеграле. 4

1. Отображение плоских областей. Криволинейные координаты.. 4

2. Изменение площади при отображениях. 4

3. Примеры отображений. 4

4. Замена переменных в двойном интеграле. 4

Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение. 4

§1. Тройные и n-кратные интегралы.. 4

1. Определение тройного и n-кратного интеграла. 4

2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда. 4

3. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида. 4

4. Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле. 4

5. Замена переменных в общем случае. 4

Глава 3. Криволинейные интегралы.. 4

§1. Криволинейные интегралы 1-го рода. 4

1. Определение, существование. 4

2. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода. 4

§2. Криволинейные интегралы 2-го рода. 4

1. Определение, существование. 4

2. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. 4

3. Связь с интегралом 1-го рода. 4

§3. Формула Грина. 4

1. Формула Грина. 4

2. Использование формулы Грина для вычисления площадей. 4

3. Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования. 4

Глава 4. Поверхностные интегралы.. 4

§1. Поверхностные интегралы 1-го рода. 4

1. Площадь поверхности, заданной уравнением z=z(x,y) 4

2. Вычисление площади поверхности, заданной параметрически. 4

3. Определение поверхностного интеграла 1-го рода. 4

4. Существование и вычисление интеграла 1-го рода. 4

5. Простейшие свойства интегралов первого рода. 4

§2. Поверхностные интегралы 2-го рода. 4

1. Определение стороны поверхности. 4

2. Определение поверхностного интеграла 2-го рода. 4

3. Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода. 4

4. Связь с интегралом 1-го рода. 4

5. Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода. 4

§3. Формула Стокса. 4

1. Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y) 4

2. Формула Стокса для векторного поля. 4

3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве 4

§4. Формула Остроградского-Гаусса. 4

§5. Элементы теории поля. 4

1. Введение. 4

2. Поток векторного поля. 4

§6. Дифференциальные операторы.. 4

1. Дифференциальные операторы 1-го порядка. 4

2. Дифференциальные операторы 2-го порядка. 4

Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра. 4

§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 4

1. Непрерывность интеграла от параметра. 4

2. Интегрирование интегралов зависящих от параметра. 4

3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. 4

§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. 4

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра. 4

2. Непрерывность несобственного интеграла от параметра. 4

3. Интегрирование интегралов зависящих от параметра. 4

4. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. 4

5. Гамма функция Эйлера Г(p) = , p > 0. 4

6. Бета функция Эйлера В(p,q) = , p > 0 , q >0 . 4

7. Другие свойства функций Эйлера. 4

8. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра. 4

Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты.. 4

§1. Преобразования базисов и координат. 4

1. Отображение областей. Криволинейные координаты.. 4

2. Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве. 4

3. Взаимные, сопряженные базисы.. 4

4. Преобразование координат.. 4

§2. Выражение операций теории поля в криволинейных координатах. 4

1. Введение. 4

2. Выражение градиента в криволинейных координатах. 4

3. Выражение дивергенции в криволинейных координатах. 4

4. Выражение ротора в криволинейных координатах. 4

5. Выражение оператора Лапласа в криволинейных координатах. 4

Глава 7. Тензорная алгебра. 4

§1. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. 4

1. Определение линейного функционала. 4

2. Формулы преобразования координат.. 4

§2. Тензоры.. 4

1. Определения и примеры.. 4

2. Основные операции над тензорами. 4

3. Бивектор, m – вектор, косое произведение. 4

4. Метрический тензор. 4

§3. Полилинейные формы и их связь с тензорами. 4

Глава 8. Тензорный анализ. 4

§1. Тензорное поле, алгебраические операции над тензорными полями. 4

1. Определения. 4

2. Операции дифференцирования тензорных полей. 4

3. Дифференцирование скалярного тензорного поля. 4

4. Дифференцирование векторного тензорного поля. 4

5. Поток линейного оператора через поверхность. 4

6. Теорема Остроградского. 4

Глава 8. Приложения. 4

§1. Аффинное пространство, евклидово и псевдоевклидово пространства. 4

1. Определение - мерного аффинного пространства. 4

2. Псевдоевклидово пространство. 4

§2. Пространство событий. 4

1. Преобразование Лоренца. 4

2. Кинематика тела с точки зрения теории относительности. 4

3. Вектор энергии-импульса частицы.. 4

4. Четырехмерный вектор плотности тока. 4

5. Электромагнитное поле. 4

6. Уравнения Максвелла. 4

§3. Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах. 4

1. Цилиндрические координаты (r, j, h) = (x1,x2,x3). 4

2. Выражение градиента в цилиндрических координатах. 4

3. Выражение дивергенции в цилиндрических координатах. 4

4. Выражение ротора в цилиндрических координатах. 4

5. Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах. 4

§4. Выражение операций теории поля в сферических координатах. 4

1. Сферические координаты (r, j, q) = (x1,x2,x3) 4

2. Выражение градиента в сферических координатах. 4

3. Выражение дивергенции в сферических координатах. 4

4. Выражение ротора в сферических координатах. 4

5. Выражение оператора Лапласа в сферических координатах. 4

Литература. 4

Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл

§1. Двойной интеграл

1.  Определение двойного интеграла

Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать mD. Пусть f(x,y) функция, определенная в квадрируемой области D.

Разобьем область D на части линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема. Под линиями разбиения здесь и в дальнейшем будут подразумеваться кусочно-гладкие кривые. Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n - 1 называется разбиением области .