ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 9 )

=+

3) Если существует , то существует и и выполнено неравенство £ .

4) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.

Поясним последнее свойство на примере отображения ( поворот на угол a вокруг оси Oz).

Если функция f(x,y,z) определена на g, то в системе координат (u, v, w) функция

F(u, v,w)=f(u cos a - v sin a , u sin a + v cos a, w)

будет определена на образе G кривой g при заданном отображении. Свойство 4) означает равенство интегралов

.

Доказательства свойств 1)-3) те же, что и для обычных интегралов. Для кусочно-гладкой кривой эти свойства следуют из соответствующих свойств обычного интеграла

.

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.

§2. Криволинейные интегралы 2-го рода

1.  Определение, существование.

Рассмотрим кривую g с началом в точке A и концом в точке B. Пусть T={Tk} разбиение кривой g и X={Xk} , Xk=(xk, hk, zk), набор промежуточных точек, каждая из которых Xk принадлежит дуге Tk,Tk+1. Как обычно обозначаем Dxj=xj+1 – xj .

Для функции f(x,y,z), определенной на кривой g, разбиения {Tk} и набора промежуточных точек {Xk} образуем интегральные суммы

(1)

Предел сумм (1) при l(T)®0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается

(2)

Характеристика разбиения определяется так же, как для интеграла первого рода l(T) = max Dlk. Аналогично можно определить интегралы

, .

Замечание. Если началом кривой выбрать точку B, то все xj меняют знак, поэтому

=.

Теорема 1. Пусть кривая g задана в параметрическом виде

, tÎ[a, b]. (3)

Если кривая (3) непрерывна, x(t) – непрерывно дифференцируема, функция f непрерывна на g, то интеграл (2) существует и имеет место формула

= .

Доказательство. Для разбиения T={Tk}={(x(tk), y(tk), z(tk)} и промежуточных точек

{Xk}={(x(xk), y(xk), z(xk)} интегральные суммы можно представить в виде

=

Последнюю сумму в этом равенстве можно записать, как сумму двух слагаемых

+ .

Здесь первая сумма является интегральной суммой для интеграла и поэтому будет к нему сходится при измельчении разбиения, а вторая может быть сделана меньше любого наперед заданного e >0 выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции и ограниченности функции

Замечание. Если на кривой g задано векторное поле то можно рассматривать интегралы вида

++===

==

Здесь использовано обозначение называют элементом длины дуги. Если – силовое поле, то интеграл можно интерпретировать, как работу поля вдоль пути g.

2.  Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Перечисляемые ниже свойства выписаны для интегралов вида , но они справедливы (кроме четвертого) и для интегралов , , . Через g-- обозначается кривая, отличающаяся от g направлением обхода. Кривую g будем предполагать кусочно-гладкой, а составляющие векторного поля - функции P,Q,R непрерывными на кривой.

Справедливы нижеследующие свойства интеграла второго рода:

1) =

2) =a +b

3) (Аддитивность по множеству) Если существует интеграл и кривая AB разбита точкой C на два участка AC, CB , то

=+.

4) Если существует интеграл , то

где через обозначена длина кривой

5) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.

Первое свойство следует непосредственно из определения криволинейного интеграла. Свойства 2)-3) доказываются так же, как и для обычных интегралов. Для кусочно-гладкой кривой эти свойства следуют из свойств интегралов

, , .

Четвертое и пятое свойства будут доказаны в следующем пункте.

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.

3.  Связь с интегралом 1-го рода.

Рассмотрим кусочно-гладкую кривую g

, tÎ[a, b]

и непрерывную функцию f(x,y,z) , определенную на g. Выберем какое-либо разбиение кривой g с промежуточными точками В точке кривой , соответствующей параметру t угол между вектором касательной и осью Ox обозначим

Косинус будем кратко обозначать .

Имеем . С другой стороны поэтому Тогда, обозначая , для интегральных сумм можно записать следующую цепочку равенств

При измельчении разбиения первая сумма будет сходиться к интегралу