ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 21 )

Теорема. (Аналог теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла или, что тоже, о почленном интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y0 , то

.

Доказательство. |b - a|e .

2.  Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Предположим, что область является областью типа А и В . Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы

F(y) = G(x)=

3.  Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема (Лейбниц). Если f и непрерывны в [a,b]´ [c,d] , то F(y) =

дифференцируема на [c,d] и .

Доказательство.

==, 0<q <1. Тогда

£ .

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции следует требуемое утверждение.

Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольнике R, содержащем область D.

Теорема. Если f и ее производная непрерывны на R, x1(y), x2(y) имеют непрерывные на [c,d] производные, то F(y) = также имеет производную

+ - .

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(u,v,y) = , определенную на прямоугольном параллелепипеде , Для нее существуют непрерывные частные производные . Непрерывность функции = следует из равномерной непрерывности функции . Дифференцируя сложную функцию

F(y) = = Ф(y, x1(y), x2(y)) получим требуемое равенство.

§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

1.  Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

(1)

, yÎY.

Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

.

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого hÎ[a,b) интеграл (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде. В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

.

Определение. Пусть интеграл с параметром для всех или для некоторых yÎ Y имеет единственную особенность в b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в +¥ (интеграл 1-го рода). Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

"e >0$d >0"hÎ(b-d,b)"yÎY : (для интеграла 2-го рода)

"e >0$M"hÎ(M,+µ)"yÎY : (для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости

Если существует функция g(x), определенная на [a,b) (b – конечное или +¥), интегрируемая на любом [a, h), hÎ(a,b) такая, что

1) |f(x,y)| £ g(x), a £ x < b, "yÎY

2) сходится,

то интеграл сходится равномерно на Y.

Утверждение следует из неравенств

Теорема. (Переход к пределу под знаком интеграла) Пусть и функция f(x,y) определена и непрерывна на отрезке [a,b) по x для всех yÎY. Если для любых hÎ(a,b) функция f(x,y)
равномерно сходится к функции g(x) на отрезке [a,b -h] при y®y0 , интеграл равномерно сходится на Y и интеграл сходится. Тогда имеет место равенство .

Доказательство.

=

Для e>0 выбираем h так, что для всех y (равномерная сходимость и сходимость ) . Для выбранного таким образом h можно найти окрестность точки y0 , в которой (равномерная сходимость f(x,y) к g(x) на [a,b-h]).

Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го рода). Для равномерной сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы

"e >0$d>0" y Î Y"h¢,h¢¢Î(b-d,b): .

Достаточность. При выполнении условия для " y Î Y"h¢,h¢¢Î(b-d,b) можно перейти к пределу при h¢¢ ® b . Тогда для " y Î Y"h¢Î(b-d,b) : , что означает равномерную сходимость интеграла .

Необходимость. Имеем "e >0$d>0" y Î Y"hÎ(b-d,b): . Тогда при

h¢,h¢¢Î(b-d,b) будет выполнено .

2.  Непрерывность несобственного интеграла от параметра

Теорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d] , интеграл F(y) = сходится равномерно на [c,d] , то этот интеграл является непрерывной функцией.

Доказательство.

|F(y+Dy) - F(y)| = £ ++.

Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного e выбором h в силу равномерной сходимости интеграла . После выбора h первый интеграл может быть сделан меньше заданного e выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции f(x,y) на прямоугольнике [a,h] [c,d].

3.  Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d], интеграл