ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 33 )

Откуда для координат тензора состояния получим

(3.1)

Таким образом, окончательно вектор энергии-импульса имеет координаты

Первая координата определяет энергию частицы, остальные – проекции импульса.

Вектор энергии-импульса не зависит от выбора инерциальной системы. Отметим здесь следующую аналогию. Физическая сущность окружающего нас мира, описываемая пространством событий, при выборе системы отчета распадается в координатах этой системы на временную и пространственную составляющие. Так и энергия-импульс выражается единым четырехмерным вектором, а в координатах выбранной инерциальной системы распадается на энергию и импульс. При переходе к другой инерциальной системе эти координаты преобразуются по формулам Лоренца. Матрица этого преобразования для простейшего случая движения вдоль оси x выписана в (3.1).

Аналогичная «свертываемость» важнейших физических понятий прослеживается в следующих пунктах: заряд-ток, электромагнитное поле, уравнения Максвелла.

4. Четырехмерный вектор плотности тока

Вектор энергии-импульса частицы получен умножением энергии покоя частицы на мнимоединичный вектор касательной к траектории частицы. Теперь домножим этот последний вектор на плотность . Вначале некоторые определения и соотношения между нужными нам величинами в разных инерциальных системах отчета.

Обозначим через - плотность масс в инерциальной системе . Рассмотрим поток масс. Поле скоростей этого потока обозначим . С каждой частицей потока связывается система отчета . Размеры элементарных объемов в направлении движения искажаются на коэффициент , В направлении перпендикулярном вектору скорости частицы такого искажения не происходит. Таким образом, связь между элементарными объемами будет

(4.1)

Элемент объема в системе в системе также изменяется по закону

(4.2)

Плотности в системе и в системе (плотность покоя) определяются, как

Откуда, с учетом (4.1),(4.2) следует, что

Поток частиц порождает множество траекторий в пространстве событий - векторную трубку траекторий. В частности, мы получаем векторное поле, определяемое мнимоединичным вектором в каждой точке рассматриваемой области в пространстве событий. Аналогично можно рассматривать поток заряженных частиц. Плотность заряда в системе будем обозначать , а в системе «плотность покоя» - . В теории относительности величина заряда не зависит от системы отчета, поэтому

Откуда, с учетом (4.1),(4.2)

(4.3)

Мнимоединичный вектор касательной к траектории частицы умножим на

Этот вектор называется четырехмерным вектором плотности тока. Такое векторное поле в пространстве событий инвариантно, не зависит от инерциальной системы отчета. Координаты вектора плотности тока запишем, используя формулы (2.2)

Из (4.3)

Первая координата этого вектора является плотностью заряда, остальные координаты – проекции плотности тока, деленные на c. Как и для вектора энергии-импульса имеет место инвариантность этого вектора относительно выбора инерциальной системы.

5. Электромагнитное поле

Электромагнитное поле в четырехмерном пространстве событий (пространство-время) может быть представлено некоторым тензором. Пусть - напряженность электрического поля в пустоте в некоторой инерциальной системе S, а - напряженность магнитного поля в этой системе. Рассмотрим частицу массы и заряда , движущуюся со скоростью (согласно теории относительности масса частицы переменная, в частности, зависит от скорости). В электромагнитном поле на эту частицу по закону Лоренца действует сила

(5.1)

По второму закону Ньютона

В координатах это равенство выглядит

(5.2)

Домножим равенства на Получим выражение в дифференциалах

С учетом (3.1) эти равенства запишутся в виде

Элемент работы над частицей равен . С другой стороны этот элемент работы равен скалярному произведению силы на элемент пути . С учетом (5.1)

Кроме того из (3.1) , В итоге

Вместе в (5.2)

(5.3)

Перейдем к ковариантным координатам. С помощью метрического тензора . В ортонормированном базисе Матрица будет иметь вид

.

Откуда следует для координат В ковариантных координатах вектора равенства (5.3) можно записать в матричном виде

(5.4)

Матрица справа обозначим

(5.5)

Эта матрица определяет кососимметрический линейный оператор F (или, что тоже, кососимметрический тензор). В координатах (5.4) записывается в виде

или

F

Тензор называется тензором электромагнитного поля.

6. Уравнения Максвелла

Как и в предыдущем пункте рассмотрим - напряженность электрического поля в пустоте в некоторой инерциальной системе S, а - напряженность магнитного поля в этой системе. - плотность электрического заряда, - вектор скорости заряда и ее модуль.

Уравнения Максвелла

(6.1)

(6.2)

Распишем (6.1) в координатах

Учитывая (5.5) эти соотношения запишутся в виде

С учетом косой симметрии эти равенства переписываются в виде

(6.3)

Если обозначить , то все четыре равенства в (6.3) получаются из при всевозможных сочетаниях трех различных индексов из четырех 0,1,2,3. Можно проверить косую симметричность матрицы . Например,