ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 5 )

Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x, y.

Если f интегрируема на D и для "y существует , то существует и и выполнено равенство

Интеграл обозначается и называется повторным.

Следствие (перемена порядка интегрирования). Если f интегрируема на D и для "y существует , "x существует , то существуют интегралы, и выполнено равенство

2.  Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию

Рассмотрим область D={(x, y): y1(x) £ y £ y2(x), xÎ[a, b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a, b]. Области такого вида будем называть областями типа A. Области вида где x1(y), x2(y) – непрерывные функции на [c, d] называются областями типа B.

Область типа A	Область типа B

Теорема. Если для области типа A существуют и для "xÎ[a, b] существует , то существует повторный интеграл и

.

Доказательство. Пусть D={(x, y): y1(x) £ y £ y2(x), xÎ[a, b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a, b]. Рассмотрим функцию

f *(x, y) =

где R=[a, b]´[c, d] прямоугольник, содержащий область D.

По теореме 3 из параграфа 5 функция интегрируема на R и выполнено равенство . Для функции f * выполнены условия предыдущей теоремы, поэтому

.

Далее, = .

На рисунке показано сечение поверхности плоскостью, проходящей через точку x, параллельно координатной плоскости yOz.

Откуда и следует требуемое утверждение. Аналогично доказывается

Теорема. Если для области типа B существуют и "yÎ[c, d] существует , то существует и

.

Примеры: Расставить пределы интегрирования в интеграле в том и другом порядке.

1. D={(x, y):0 £ x £ 1, x2£ y£ 1+(x-1)2}

2. D={(x, y):0 £ x £ 1, x2-1£ y£ cos().

§7. Замена переменных в двойном интеграле

1.  Отображение плоских областей. Криволинейные координаты

Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой плоскости, плоскость переменных x, h и область S в этой плоскости

Пусть имеется взаимно однозначное отображение области D на S

(1)

(2)

Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этих отображений отличны от нуля

Отметим, что

В области S рассмотрим некоторую кусочно-гладкую кривую

Ее образ в D имеет параметризацию

и будет также кусочно-гладкой кривой. Действительно,

(3)

Если (x¢,h¢)¹(0,0), то и (x¢,y¢)¹(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не вырожденной матрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что противоречит условию (x¢,h¢)¹(0,0).

Определение. Кривая, составленная из точек области D вида или

называется координатной линией.

Неявное задание этой линии имеет вид h(x, y)=h0 (соответственно x(x, y)=x0).

Определение. Числа x0 , h0 из области S плоскости (x, h) определяющие положение точки из области D плоскости (x, y) называются криволинейными координатами точки (x0 ,y0). Наоборот, на (x0 ,y0) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (x0 , h0).

Фиксируя значения x или h на плоскости (x, h) можно получить два семейства координатных линий. В области D появляется криволинейная координатная сетка. При сделанных предположениях две линии одного семейства не пересекаются между собой и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства

2.  Изменение площади при отображениях

Пусть дано отображение и его обратное

удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями x=const, h=const плоскости x, h.

Рассмотрим прямоугольник [x, x +Dx][h, h +Dh] в плоскости x, h и его образ в плоскости x, y.

Обозначим для краткости x=x(x, h), y=y(x, h), тогда

x(x +Dx, h)= y(x +Dx, h)=

x(x, h +Dh)= y(x, h +Dh)=

x(x +Dx, h +Dh)= y(x +Dx, h +Dh)=

Для вычисления площади фигуры с вершинами

A(x, y), B(x(x +Dx, h), y(x +Dx, h)), C(x(x +Dx, h +Dh), y(x +Dx, h +Dh)), E( x(x, h +Dh), y(x, h +Dh))

рассмотрим параллелограмм A=A¢, B¢, C¢, E¢ с координатами вершин

A¢=A=(x, y),

Этот параллелограмм построен на векторах A¢B¢, A¢E¢,

a=A¢B¢ = , b=A¢E¢ = .

Поэтому его площадь равна

m(A¢,B¢,C¢,E¢)=½[a, b]½= =DxDh

Вершины A, B, C, E отличаются от вершин A¢,B¢,C¢,E¢ на o(r). Можно показать, что в этом случае площади будут отличаться на o(r2)

m(A, B,C, E)=

Используя это равенство, доказывается, что площадь области D будет равна

mD== (4)

Докажем последнее равенство для случая, когда область S представляет собой квадрат [a, b]´[a, b] . Рассмотрим разбиения отрезков [a, b] с равноотстоящими узлами В этом случае

Dxi=xi+1 - xi = (b - a)/n , Dhj=hj+1 - hj = (b - a)/n , r==(b - a)/n.

Тогда площадь области D будет равна

mD= .

.

Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n®¥ , откуда и следует равенство (4).

Замечание. Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а выражение dxdh - элементом площади в плоскости x, h.

dxdy = dxdh.

Из (4) по теореме о среднем можно записать mD= . Таким образом, в любой точке области M0=(x0 ,h0 ,z0 )

=.

Таким образом, модуль якобиана является коэффициентом искажения площади при данном отображении.

3.  Примеры отображений

Экспонента S=[-3,1]´[0,p]

Функция Жуковского ,S= [0,p]´[0.25,0.9] (в полярных кординатах)

Дробно линейное отображение

,S= [0.25,1]´[0,1].

4.  Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим отображение

и его обратное ,

непрерывно-дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D.

Лемма. Если функция f(x, y) интегрируема на D, то функция F(x, h)=f(x(x, h),y(x, h)) интегрируема на S.

Доказательство. Любое разбиение области D порождает разбиение области S и наоборот. Эти разбиения будем обозначать DD={Dk} , DS={Sk}. Здесь Dk и Sk – подобласти, переходящие друг в друга при заданном отображении.

Для разбиений DD={Dk} , DS={Sk} колебания функций F, f будут равны между собой

wk(F)== =wk(f).

В дополнение к этому следует добавить, что стремление характеристики разбиения для одного из разбиений DD={Dk} , DS={Sk}влечет стремление к нулю характеристики другого разбиения. Например, расстояние можно оценить через

Сделаем оценку для разности первых координат, используя теорему Лагранжа и неравенство Коши-Буняковского

Далее =, поэтому между разностями сумм Дарбу будут выполнены соотношения