ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 30 )

Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq фиксированы, то достаточно рассмотреть F(ea,ea ). Имеем = и = и

F()=F(, )=F(, ) =F(, )=F(, ).

Напомним, что наличие индекса i на разных уровнях, слева внизу, справа вверху, означает суммирование по этому индексу.

Полилинейная форма называется сверткой по первому индексу. Координатами этой формы будут

Последняя формула является определением свертки по первым индексам в терминах координат тензора. Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.

Глава 8. Тензорный анализ

§1. Тензорное поле, алгебраические операции над тензорными полями

1.  Определения

В предыдущих параграфах мы занимались тензорной алгеброй. В тензорном анализе изучаются тензорные поля, к которым можно будет применять аппарат дифференциального исчисления.

Определение. Если в каждой точке M пространства или в некоторой области задан тензор определенного типа типа (q,p)

,

то говорят, что задано тензорное поле.

Координаты тензора будем предполагать достаточное число раз дифференцируемыми функциями.

Примеры.

Скалярное поле представляет собой тензорное поле нулевой валентности.

Координаты векторного поля ( a(M)=ei Ai (M) ) определяют тензорное поле типа (1,0), если они преобразуются по положенным законам при переходе к новой системе координат.

2.  Операции дифференцирования тензорных полей

Напомним обозначения, связанные с понятием мульти индекса.

Обозначения. Мульти индекс.

i= i1 i2 … ip , a= a1 a2 … ap,

j= j1 j2 … jq , b= b1 b2 … bq.

Для координат тензора

для матриц перехода координат

в последнем случае порядки мульти индексов должны совпадать.

Обозначение для векторов базисов:

В этих обозначениях определение тензора (q, p) запишется в виде

Дифференциал тензора с координатами ( для облегчения конструкций зависимость от точки мы будем иногда опускать) определяется, как объект с координатами . Так как дифференцирование является линейной операцией, то координаты этого объекта будут преобразовываться при переходе к новому базису по тем же законам, что и координаты тензора . Таким образом, дифференциал тензора является тензором того же типа. Действительно, так как величины не зависят от точки M , то

.

Пусть теперь . Тогда для координат дифференциала тензора типа (q,p) будет выполнено равенство . В этом случае В этих обозначениях Найдем формулы преобразования величин при переходе к новой системе координат

Здесь использовано разложение , поэтому Таким образом, величины определяют тензор типа (q,p+1).

Совокупность всех частных производных первого порядка от координат тензора поля по координатам точки M определяет новое тензорное поле размерности большей на единицу исходного поля (контравариантность повышается). Тензорное поле с координатами называется производной первого порядка данного поля.

Как уже отмечалось, выражение для координат дифференциала в обозначениях набла записывается в виде:

Это равенство означает, что дифференциал тензорного поля есть свертка производной тензорного поля и тензора дифференциала координат.

3.  Дифференцирование скалярного тензорного поля

Пример. Рассмотрим скалярное поле Производная этого поля представляет собой одновалентный тензор типа (0,1). Этот тензор называется градиентом тензорного поля и обозначается

Для дифференциала

4.  Дифференцирование векторного тензорного поля

Рассмотрим одновалентное тензорное поле V Для дифференциала

Величины являются координатами двухвалентного тензор типа (1,1). Действительно,

Такому тензорному полю соответствует поле линейного оператора A. Этот оператор называется производным линейным оператором тензорного поля . Используя выписанные выше соотношения, можно представить дифференциал тензорного поля V, как результат действия линейного оператора поля на вектор дифференциал переменных:

dVA(dx).

Линейный оператор раскладывается на сумму самосопряженного и кососимметрического операторов

A=B+C.

Соответствующее тензорное поле представляется суммой симметричного и кососимметричного полей

или

Для операторов

A(dx)=B(dx)+C(dx)= B(dx)+[u, dx].

u=(,,)=

Удвоенный вектор u называется ротором векторного поля V.

rot V

След оператора A совпадает со следом оператора B (в силу косой симметрии оператора C). Эта величина называется дивергенцией тензорного поля V.

div V =

Кинематическая интерпретация. Пусть V поле скоростей стационарного потока жидкости. Тогда равенство

A(dx)=B(dx)+C(dx)= B(dx)+[rot V, dx]