ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 13 )

В этом случае для функции u(x,y)= выполняется равенство du = Pdx+Qdy и, следовательно, u(x,y)=Const есть решение исходного дифференциального уравнения. Найдем функцию u. Пусть M =(x, y) текущая точка области M0=(0,0). В качестве кривой, соединяющей точки M0 и M , выберем отрезок

g : ,

==+ =+ =+

Глава 4. Поверхностные интегралы

§1. Поверхностные интегралы 1-го рода

1.  Площадь поверхности, заданной уравнением z=z(x,y)

Будем предполагать, что функция z(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными в области D. Обозначим эти производные . Уравнение касательной плоскости в точке (x,y,z) имеет вид Z – z = p (X – x) +q(Y – y) (здесь X, Y, Z – координаты текущей точки плоскости). Нормаль к этой плоскости =±(p, q, -1), единичная нормаль - . Направляющие косинусы нормали равны

cos(, )	cos(, )	cos(, )
cos a	cos b	cos g
±	±

Возьмем какое-либо разбиение {Di} области D. Цилиндры с основаниями Di вырезают на поверхности z=z(x,y) области i = {(x,y,z): (x,y)ÎDi , z = z(x,y)}.

На k выберем промежуточную точку Mk(xk ,hk , zk) , zk = z(xk ,hk ). В этой точке построим касательную плоскость. Цилиндр с основание Dk (направляющей служит граница области Dk , а образующей линия, параллельная оси Oz) вырезает на этой плоскости фигуру Tk с некоторой площадью mTk .

Известно (доказательство ниже), что

mDk = mTk |cos(,)|.

Таким образом

За площадь поверхности z=z(x,y) принимается число

= .

Поверхность в этом случае называется квадрируемой.

Докажем равенство mDk = mTk |cos(,)|. Рассмотрим цилиндр с основанием D, ограниченный сверху плоскостью. При необходимости систему координат можно повернуть вокруг оси Oz, так, что уравнение верхней крышки цилиндра не будет содержать y: z = ax=x tg a .

Площадь плоской области определялась на основании площади многоугольника, поэтому равенство mD = mT |cos(,)| достаточно доказать для случая, когда T и D – треугольники. Можно считать (разбив, при необходимости, треугольник на два), что основание треугольника D параллельно оси Oy .

Треугольники T и D имеют общее основание, а соотношение между высотами

HD = HT |cos(,)| (a=g).

Замечание 1. Для поверхности y=y(x,z) , аналогично, получим формулу

Для x=x(y,z) будет

Замечание 2. Для вычисления площади поверхности не представимой ни в одном из видов z=z(x,y), y=y(x,z), x=x(y,z) можно попытаться ее разбить на отдельные поверхности указанных типов.

2.  Вычисление площади поверхности, заданной параметрически

Параметрическим заданием поверхности называется задание следующего вида

Ф: ,

x,y,z – непрерывно дифференцируемые функции в D и якобианы

A= , B= , C= ,

не обращаются в 0 одновременно (ни в одной точке области D). На поверхности можно рассмотреть два семейства линий, фиксируя в параметрическом задании поверхности параметр u, а затем v:

, .

Если радиус вектор в точку поверхности M(x,y,z) обозначить , то касательные к двум линия этих семейств, проходящих через точку (x0,y0,z0) поверхности будут и нормалью к поверхности будет вектор

=(A,B,C).

Рассмотрим разбиение {Фk} поверхность Ф на части. Выберем промежуточные точки MkÎFk . Через T обозначим касательную плоскость к поверхности в точке Mk , через Tk обозначим проекцию Фk на касательную плоскость T в направлении нормали к этой плоскости.

Характеристикой l(D) этого разбиения называется максимальный из диаметров Фk .

Площадью поверхности Ф называется предел сумм вида при стремлении к нулю характеристики разбиения l, при условии существования этого предела и независимости его от выбора разбиения и выбора промежуточных точек.

mФ =.

Поверхность в этом случае называется квадрируемой.

Как и в случае явного задания, можно показать, что при сделанных предположениях (непрерывно-дифференцируемые функции и не равные одновременно нулю якобианы) Ф будет квадрируема и её площадь будет равна

mФ= = .

Если положить

E= = + +

G= = + +

F= , то EG – F2 = EG – EG cos2j = EG sin2j = . Тогда

mФ= .

Выражение = или в случае явного задания, называется элементом поверхности (точнее, площадью элемента поверхности).

3.  Определение поверхностного интеграла 1-го рода

Пусть задана квадрируемая поверхность F и на ней функция f(x,y,z). Возьмем какое-либо разбиение {Fk} поверхности F, выберем промежуточные точки MkÎ Fk и составим суммы вида

Определим характеристику разбиения l(D), как максимальный из диаметров Fk.

Поверхностным интегралом первого рода называется предел сумм s при стремлении к нулю l(D), при условии, что он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек. Поверхностный интеграл первого рода обозначается