ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 22 )

F(y) = сходится равномерно на [c,d] , существует интеграл , то

= = .

Доказательство. Для любого hÎ[a,b)

= . Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что сходится равномерно на [c,d] к при h®b. Действительно, .

Эту теорему можно обобщить

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d), интеграл сходится равномерно на любом [c,h] , интеграл сходится равномерно на любом [a,x] и существует один из повторных интегралов

, , то существует и другой и выполняется равенство

= .

Без доказательства.

4.  Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)´[c,d] , то сходимость интеграла эквивалентна условию: для любой последовательности hk®b, h0=a , hkÎ[a,b) сходится ряд . Аналогично, равномерная сходимость интеграла на множестве Y эквивалентна условию: для любой последовательности hk®b, h0=a , hkÎ[a,b) равномерно на Y сходится функциональный ряд .

Это утверждение следует из определения предела по Гейне и выражения для частичных сумм ряда .

Теорема. Пусть функции f(x,y) и непрерывны на [a,b)´[c,d] . Если сходится для всех y а сходится равномерно на [c,d] , то функция F(y) = дифференцируема на этом отрезке и

.

Доказательство. Пусть hn® b ,hnÎ[a,b), h0=a . Согласно лемме

F(y) = = . Таким образом, функциональный ряд сходится для всех y. Далее, . Ряд из производных сходится равномерно на [c,d]. По теореме о почленном дифференцировании функционального ряда =

5.  Гамма функция Эйлера Г(p) = , p > 0

Г(p) непрерывна на ( 0 , µ ).

Для доказательства отметим, что Г(p) = + .

Докажем непрерывность функций , на ( 0 , µ ).

1) £ , pÎ[e , A] . сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [e, A] и, следовательно, является непрерывной функцией на этом множестве [e , A].

2) £ , pÎ[e, A] . сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [e, A] и, следовательно, является непрерывной функцией на множестве [e, A].

Для гамма функции Эйлера справедлива формула

(1)

Это равенство получается после замены x ® xy .

G(p) = = =

6.  Бета функция Эйлера В(p,q) = , p > 0 , q >0 .

Сделаем замену , dx = .

В(p,q) = = .

В(p,q) = (2)

7.  Другие свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим . Откуда, используя (2)

.

В(p,1-p) = Г Г == ,0<p<1.

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале

(0, 1/2).

Интеграл сходится для p>0 и сходится равномерно на любом отрезке [e, A ], для 0 < e < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем равномерную сходимость интегралов .

В окрестности нуля |ln x| £ . Константа C1(d)существует для любого d > 0.

Аналогично, в окрестности бесконечности |ln x| £ .

Равномерная сходимость интеграла Г(k)(p)= на любом отрезке [e, A ] следует из оценок £ + £ +, для всех pÎ[e , A]. Здесь для e >0 следует выбрать d так, чтобы e - k d оставалось больше нуля.

8.  Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл существует для любого

A > 0.

= , = = = = =- f(0) .

= f(0) , (a>0,b>0).

Интегрированием по частям вычисляются интегралы

, a ³ 0, , a ³ 0 .

Другой способ: Положим g = -a + ib , , откуда и следуют указанные формулы.

Вычислить

.

, =,

Интеграл Пуассона

I = .

I 2 = = = = = = .

Интеграл I = .

Интегрирование по частям I = ==.

=I, , I = C , I(0) = ==, I = .

Вычислить интеграл F(a, b) = , a>0, b>0 (1)

(2),

из (2) F(a,b) =+С(b).

===

F(a, b) = +C(b)=+C(b).

p ln b = F(b, b)=p ln 2 + C(b), C(b) = p .

Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

§1. Преобразования базисов и координат

1. Отображение областей. Криволинейные координаты

Рассмотрим область V в системе координат (x,y,z) и область D в системе координат (x1,x2,x3) .

Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями, осуществляемое регулярным отображением ( регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое и обратное непрерывно дифференцируемы )