ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 7 )

= f(x)mD.

7) Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.

8) Если mD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено

f(x) dx=0.

9) Свойство аддитивности по множеству. Если фунция интегрируема на измеримом множестве D и где измеримы, то

Следствие. Если измеримы и функция интегрируема на D1, а , то интегрируема на и имеет место равенство

2.  Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Пусть V – прямоугольный параллелепипед : [a,b]´ [c,d] ´ [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим через D прямоугольник [c,d] ´ [g,h].

Теорема. Если существует и для любого xÎ[a,b] существует , то существует интеграл и имеет место равенство

=.

(здесь и в дальнейшем используются обозначения= )

Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V :

D={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.

Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]´[yj,yj+1]´[zk,zk+1],i=0,…,n-1, j=0,…,m-1,z=0,…,l-1. Точку (x,y,z) будем обозначать X. Положим mijk= , Mijk= . Тогда для XÎVijk справедливы неравенства mijk£ f(X) £ Mijk . Для набора промежуточных точек {x i }, x i Î [xi,xi+1] будет выполнено

mijk Dyj Dzk £ £ Mijk Dyj Dzk ,

mijk Dyj Dzk £ £ Mijk Dyj Dzk .

Домножая последние неравенства на Dxi и суммируя, получим

mijk Dxi Dyj Dzk £ £ Mijk Dxi Dyj Dzk .

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла , поэтому при неограниченном измельчении разбиения эти суммы будут сходиться к соответствующим интегралам, откуда и следует требуемое утверждение.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

=,

=,

=.

Через Dx , Dy , Dz обозначены проекции области V на координатные плоскости x=0, y=0, z=0, соответственно.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

=,

=.

(используются обозначения= ).

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

= ,

= ,

=

Здесь Dxy =Dz =[a, b]´ [c, d], Dzx=Dy =[g, h] ´ [a, b] , Dyz =Dx = [c, d] ´ [g, h].

3.  Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида

Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lx – плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x. Для x Î [a,b] обозначим через Dx сечение области V плоскостью Lx : Dx =VÇ Lx . Будем предполагать, что Dx квадрируема для всех x Î [a,b]. При этих предположениях справедлива

Теорема. Если существует и для "xÎ[a,b] существует интеграл

I(x)=, то существует и и

=.

Доказательство. Обозначим через R=[a,b]´ [c,d] ´ [g,h] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию

f*(M)= .

Тогда

=, Rx= [c,d]´ [g,h].

Для левого и правого интегралов справедливы равенства

=+=.

==.

Замечание. Сечение Dx = VÇ Lx может быть задано в виде

Dx = {(y,z): y1(x) £ y £ y2(x) , z1(x,y) £ z £ z2(x,y)}.

В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом:

== .

D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в виде

D = {(x, y):a £ x £ b, y1(x) £ y £ y2(x)}. Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.

4.  Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с якобианом, отличным от нуля

, (x, h, z )Î S

из области S в область V, где области S и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива формула (без доказательства)

m V = (1)

Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что

=mV = = mS.

Откуда получим, что в любой точке области M0=(x0 ,h0 ,z0 )

=.

Теорема ( замена переменных ). Если f интегрируема на V, то

= .

Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функции F(x, h,z)=f[x(x, h,z),y(x, h,z),z(x, h,z)] на S доказывается так же, как и в случае двойного интеграла. Выберем какое-либо разбиение {Sj} области S и обозначим через {Vj} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (1)