ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 27 )

Множества тензоров типа (q,p) в евклидовом пространстве Х с введенными таким образом операциями обозначается .

Пример.

Рассмотрим произведение двух тензоров типа (1,0) определенных в примере 2. Координаты этого произведения определяются выражением Проверим непосредственно, что полученный тензор имеет тип (2,0). Действительно,

Тензор представляет произведение тензора (0,1) на тензор (1,0). Это произведение двух тензоров будет тензором типа (1,1).

Операция перестановки местами двух выбранных индексов определяет новый тензор того же типа.

Рассмотрим эту операцию на примере тензора типа (2,4). Положим

=, =. Найдем формулы преобразования координат от к . Имеем

====.

Операции симметрирования и альтернирования.

Определение. Тензор А с координатами называется симметричным по паре индексов i, j, если при перестановке этих индексов координаты тензора не меняются, т. е. =. Если , то тензор называется кососимметричным по этой паре индексов (при перестановке указанных индексов у всех координат тензора меняется знак).

Пример 1. Двухвалентный кососимметрический тензор и его эквивалентность векторному произведению.

Рассмотрим линейный оператор Ax с кососимметрической матрицей

Условие кососимметрии дает: Следовательно, матрица оператора будет иметь вид:

Можно проверить, что такую матрицу имеет оператор Bxb,x],b Проверим это. Bi=[b,i] это первый столбец матрицы .

Bj=[b,j] это второй столбец матрицы .

Bk=[b,k] это третий столбец матрицы .

Естественно, верно и обратное. Матрица линейного оператора Bx является кососимметрическим тензором типа (1,1). Эта матрица имеет вид

Пример 2. Симметричный двухвалентный тензор, как деформация пространства.

Самосопряженный оператор A определяется симметричной матрицей и тем самым является симметричным тензором. У самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов. В базисе из собственных векторов координаты тензора (они же, координаты матрицы оператора) образуют диагональную матрицу с собственными значениями на диагонали. По направлениям собственных векторов действие оператор будет определятся равенствами Aгде собственное значение оси i – го собственного вектора. Такой оператор (соотвественно тензор) называется деформацие пространства. Например, при - растяжение по данной оси.

Пример 3.

Скалярное произведение в пространстве X, будучи билинейной формой, является тензором типа (0,2). Координаты этого тензора определяются из соотношения откуда следует его симметричность.

Пример 4.

Смешанное произведение (x,y,z) в пространстве (Х, Х,X) определяется координатами В новом базисе Следовательно, это тензор типа (0,3). Непосредственной проверкой (с учетом свойств смешанного произведения: ) легко установить кососимметричность этого тензора: Координаты этого тензора удобно представлять себе в виде трехмерной матрицы 3x3x3. В этой матрице всего 6 отличных от нуля элементов. Остальные члены равны по модулю и отличаются только знаком.

Операция симметрирования тензора по индексам i1i2…ik . Операция состоит в построении по данному тензору нового тензора B по следующему правилу: рассматриваются k! тензоров, полученных из А перестановкой индексов i1i2…ik и B определяется, как сумма этих тензоров, деленная на k!.

B = .

Операцию симметрирования можно производить для индексов, находящихся на разных уровнях. Например,

Пример 5. для тензора aij типа (0,2).

Пример 6. , a(ij)=

Операция альтернирования А тензора по индексам i1i2…ik определяется по формуле

С = ,

где [i1i2…ik] – четность перестановки (i1i2…ik).

Операцию альтернирования можно производить для индексов, находящихся на разных уровнях. Например,

Пример 7. .

Пример 8. , a[ij]= .

Пример 8. Рассмотрим тензор типа (3,0), имеющий в исходном базисе координаты Тогда, по определению Непосредственно проверяется, что полученный тензор кососимметричен по всем индексам. Как мы видели ранее, все координаты этого тензора равны нулю, кроме шести (равных по модулю ).

3.  Бивектор, m – вектор, косое произведение.

Определение. Бивектором называется дважды контраваринтный кососимметрический тензор

Бивектор называется простым, если он получен, как произведение двух конравариантных тензоров с последующим альтернированием.

Именно, пусть даны два вектор (два контравариантных вектора)

Определяем произведение

Затем полученный тензор альтернируется

Объект, определяемый этим тензором называется бивектором и обозначается

Бивектор обладает свойствами:

Во втором свойстве справа стоит дважды кортравариантный тензор, все координаты которого равны нулю.

Для линейной зависимости двух векторов необходимо и достаточно равенство нулевому тензору их косого произведения.

Определение. Тензор m – раз контравариантный и кососимметричный по всем своим индексам называется m – вектором. m – вектор называется простым, если он получен, как произведение некоторых m векторов с последующим альтернированием.