ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 11 )

Если область является одновременно областью и типа A и типа B ,

то из (1), (2) для поля =(P,Q) получается формула

(3)

Формулы (1), (2), (3) называются формулами Грина.

Замечание. Формула (3) верна и для областей более общего вида. В частности, если область можно разбить непрерывными кривыми на конечное число областей, для каждой из которых формула (3) справедлива, то эта формула будет верна и для всей области.

Для области, показанной на рисунке, можно сделать разрез, как показано на рисунке.

Область разбивается на две области D1 , D2 , для которых справедлива формула Грина.

Введем обозначения ¶D1 =g1+g2 , ¶D2 =g3+g4=G , тогда ¶D =g1+g4 . При этом +=0. Тогда

=+=+=+++=+=.

Пример 1. Вычислить . Контур C ориентирован положительно. Рассмотреть два случая: контур не содержит начало координат, контур содержит начало координат.

Обозначим через D область, ограниченную контуром C. Вычислим частные производные

==,

==,

Таким образом, в первом случае ==0.

Во втором случае формула Грина не может быть использована, так как поле (P,Q) имеет особенность в начале координат, которая попадает в область интегрирования. Выберем круг с центром в начале координат и достаточно малого радиуса r так, чтобы он содержался в области D. Границу этого круга, ориентированную положительно, обозначим Cr .

Произведем два разреза кусочно-гладкими кривыми, соединяющие какие либо две точки границы контура C с какими либо точками окружности Cr . На рисунке в качестве разрезов выбраны отрезки прямой и показаны обозначения для некоторых кривых, образовавшихся в результате этих разрезов. Отметим, что C=C1+C8 , =C3+C6 , C2= , C4=.

Внутри контуров C1+ C2+ C3+ C4 и C5+ C6+ C7+ C8 особенностей нет и, как было доказано, с Контур G=C1+ C2+ C3+ C4+ C5+ C6+ C7+ C8 не содержит внутри себя ни каких особенностей векторного поля (P,Q) и, поэтому к нему применима формула Грина

0====.

Таким образом. ==.

Пример 2. Вычислить интеграл , где AmB – верхняя полуокружность x2+y2=ax , начало - A(a,0), конец – B(0,0).

, . .

= =

AB- имеет параметризацию .

Тогда

= + = .

Пример 3. Вычислить , где функция f(y) – непрерывно дифференцированная на проекции кривой AmB (проекция на ось Oy), AmB – кривая, соединяющая точки A, B, ограничивающая вместе в отрезком AB область D.

Будем предполагать, что обход границы области AmB+BA происходит в положительном направлении (область остается слева). Вычислим частные производные

, . .

= .

=mmD = mmD .

AB- имеет параметризацию , A=(x0,y0),B=(x1,y1), Dx=x1 - x0 , Dy=y1 - y0 .

Тогда

=

-==.

= mmD+.

2.  Использование формулы Грина для вычисления площадей.

Если в качестве функций P, Q взять функции, для которых , то получится формула для вычисления площади области, ограниченной кривой g.

.

Можно предложить три варианта таких функций

1)  Q=x, P=0 и тогда .

2)  Q=0, P=-y и тогда

3)  Q=, P= и тогда

Пример 1. Вычислить площадь астроиды. Уравнение астроиды в полярных координатах

==== ab.

Пример 2. Вычислить площадь лемнискаты (x2+y2)2=a2(x2 - y2).