ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ (стр. 8 )

mVj = = m Sj.

Полученные таким образом точки = (xj , hj , zj) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм функции F(x, h,z) и разбиения {Sj}, а соответствующие точки для интегральных сумм функции f(x,y,z) и разбиения {Vj}. В этом случае

.

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

Пример 1. Цилиндрические координаты. Вычислить интеграл ,

V:x2+y2=z2, 0 £ z £ 1. , .

В этом случае область D можно описать неравенствами в цилиндрических координатах:

D = {(r,j,h): 0 £ h £ 1 ,0 £ j £ 2p, 0 £ r £ h} . Тогда для указанного в условии интеграла, по формуле замены переменных, получим:

= = ===.

Пример 2. Сферические координаты. Вычислить интеграл A= , по области V, расположенной в первом октанте, внутри единичного шара: . Для сферических координат имеем:

, = =

=

.

Область показана на рисунке справа. В левой части дана геометрическая интерпретация сферических координат.

Поэтому A= = = .

Пример 3. В интеграле расставить пределы интегрирования в порядке и . Область, соответствующая пределам интегрирования в исходном интеграле, показана на рисунке. На этом же рисунке даны обозначения, используемых при решении сечений.

Обозначим область интегрирования W. Тогда исходный интеграл будет равен:

.

Далее, в двойных интегралах , можно расставить пределы интегрирования в нужном порядке для указанных сечений ( трапеции).

=.

=.

Пример 4. Заменить тройной интеграл однократным интегралом. Обозначения для сечений области, соответствующей интегралу, заданному в условии задачи, указаны на рисунке.

= + = + = +

5.  Замена переменных в общем случае

Рассмотрим регулярное отображение

(кратко x=x(u))

из области S в область V. При измеримости областей S , V справедлива формула замены переменных

=,

существование интегралов предполагается.

Глава 3. Криволинейные интегралы

§1. Криволинейные интегралы 1-го рода

1.  Определение, существование

Рассмотрим спрямляемую кривую g и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Tk}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой T={Tk} . На каждой дуге Tk Tk+1 задана промежуточная точка Xk=(xk , hk , zk ), X={ Xk }, обозначим длину дуги Tk Tk+1 через lk , длину хорды, стягивающей дугу Tk Tk+1 обозначим Dlk . Характеристикой разбиения T назовем величину l(T) = max Dlk . Составим интегральные суммы двух типов

s(f,T,X)= (1)

s(f,T,X)= (2)

Определение 1. Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения l(T), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

.

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла

$J"e>0$d>0:(l(T)<d, XÎT)Þ|s(f,T, X) - J|<e.

Можно использовать второе эквивалентное определение, беря в качестве интегральных сумм суммы (2), где вместо длины хорды Dlk берется длина дуги lk .

Определение 2. Предел сумм (2) при стремлении к нулю характеристики разбиения l(T), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

где

Доказательство эквивалентности этих определений для гладкой кривой будет дано позже.

Замечание 1. Если кривая g плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл обозначается .

Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.

Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически

, tÎ[a, b].

Теорема 1. Если кривая гладкая (непрерывно дифференцируема без особых точек

(x¢ 2+y¢ 2+z¢ 2¹0)), функция f(x,y,z) непрерывна на , тогда криволинейный интеграл существует и имеет место равенство

= (3)

Доказательство. Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем разбиение {tj } отрезка [a, b] и соответствующие им точки на кривой Tj и промежуточные точки Xk=(xk , hk ) на дугах Tk Tk+1 . Тогда

= = = + .

Первое слагаемое в этом равенстве является интегральной суммой, сходящейся при измельчении разбиения к нужному нам интегралу в правой части равенства (3). Вторую же сумму в последнем равенстве можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Действительно,

= .

Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нет особых точек и следует воспользоваться второй теоремой Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномерной непрерывности функций . Таким образом, пределом сумм будет интеграл

.

Докажем эквивалентность двух определений криволинейного интеграла для случая непрерывной функции двух переменных f(x,y). Для заданного разбиения {tj } отрезка [a, b] промежуточные точки xj выберем так, что

,

соответствующие точки на кривой g обозначим Xk=( x(xk),y(xk) ). Тогда

= =

Слева в этом равенстве стоит интегральная сумма для второго определения криволинейного интеграла, а справа появилась интегральная сумма для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение. Если выбирать произвольные промежуточные точки , то

=

Вторая сумма в этом будет сходиться к нулю при измельчении развиения в силу равномерной непрерывности функции f [x(t),y(t)].

Замечание. Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора порядка точек разбиения {Ak} (порядок обхода кривой или выбор начала кривой A и конца кривой B называется ориентацией кривой ). Точки A, B могут совпадать. В этом случае кривая называется замкнутой.

2.  Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

1)

2) (Аддитивность по множеству) Если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB и существует , то существуют и и справедлива формула