Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 11 )

Как и в предыдущем случае, в случае непрерывной зависимос­ти ΔD от ΔQ удобно перейти к пределу при ΔР 0:

Аналогичное понятие можно ввести и для функции предло­жения S(P). Напомним, что функция D(P) убывает, а функция S(P) возрастает с ростом цены Р.

Укажем некоторые свойства эластичности. Как следует из формулы (5.14а), ее можно выразить так:

Из равенства (5.14 б) следует, что E(D) обладает свойствами логарифма, а значит,

Заметим, что поскольку функция D(P) убывающая, то D'(P) < 0, а тогда согласно формуле (5.14а) и E(D) < 0. Напротив, поскольку функция предложения возрастающая, то соответствующая эластичность E(S) > 0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины |E(D)|:

а) если |E(D)| > 1 (E(D) < -1), то спрос считается элас­тичным;

б) если |E(D)| = 1 (E(D) = -1), то спрос нейтрален;

в) если |E(D)| < 1 (E(D) > -1), то спрос неэластичный.

Рассмотрим два примера из этой области.

Пример 1. Пусть функция спроса описывается формулой

где D0 и k — известные величины. Найти, при каких значениях цены Р спрос будет эластичным.

Решение. Согласно формуле (5.14а) составляем выраже­ние для E(D):

Для того чтобы спрос был эластичным (случай а), необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Пример 2. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.

Решение. Выручка I равна произведению цены Р на товар на величину спроса D:

Найдем производную этой функции:

Теперь проанализируем все варианты эластичности спроса, приведенные выше, с учетом формулы (5.14а).

1) E(D) < -1; тогда, подставляя (5.14а) в это неравенст­во, получаем, что правая часть уравнения (5.15) отрицательна. Таким образом, при эластичном спросе повышение цены Р ве­дет к снижению выручки. Напротив, снижение цены на товар увеличивает выручку.

2) E(D) = -1. Из (5.14а) следует, что правая часть (5.15) равна нулю, т. е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.

3) E(D) > -1. Тогда I'(P) > 0, т. е. при неэластичном спросе повышение цены Р на товар приводит к росту выручки.

Понятие эластичности распространяется и на другие обла­сти экономики. Рассмотрим один характерный пример.

Пример 3. Пусть зависимость между себестоимостью продук­ции С и объемом Q ее производства выражается формулой

Требуется определить эластичность себестоимости при выпус­ке продукции Q = 30 ден. ед.

Решение. По формуле (5.14а) получаем

откуда при Q = 30 искомая эластичность составит около —0,32, т. е. при данном объеме выпуска продукции его увеличение на 1% приведет к снижению себестоимости примерно на 0,32%.

Максимизация прибыли

Пусть Q — количество реализованного товара, R(Q) — функция дохода; C(Q) — функция затрат на производство то­вара. В реальности вид этих функций зависит в первую оче­редь от способа производства, организации инфраструктуры и т. п. Прибыль от реализации произведенного товара дается формулой

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Оба упомянутых предельных показателя определяются по аналогии с (5.14а), так что этот принцип можно записать в виде R'(Q) = C'(Q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функ­ции (5.16) следует, что П'(Q) = 0, откуда и получается основ­ной принцип.

Пример 4. Найти максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

Решение. Согласно (5.16), прибыль П(Q) = - Q3 + 36Q2 - 69Q — 4000. Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение

Корни этого уравнения Q1 = 1, Q2 = 23. Проверка показы­вает, что максимальная прибыль достигается при Q = 23: Пmах = 1290.

Закон убывающей эффективности производства

Этот закон утверждает, что при увеличении одного из ос­новных факторов производства, например капитальных затрат К, прирост производства начиная с некоторого значения К яв­ляется убывающей функцией. Иными словами, объем произве­денной продукции V как функция от К описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх.

Пример 5. Пусть эта функция дается уравнением

где b и с — известные положительные числа (они определя­ются прежде всего структурой организации производства), а Vlim — предельно возможный объем выпускаемой продукции. Нетрудно подсчитать, что вторая производная функции (5.17) имеет вид

Критическая точка находится из условия V"(K) = 0, откуда

График функции (5.17) приведен на рис. 5.10. В точке пе­региба (5.18) выпуклость графика функции вниз меняется на выпуклость вверх. До этой точки увеличение капитальных за­трат приводит к интенсивному росту объема продукции: темп прироста объема продукции (аналог первой производной) воз­растает, т. е. V"(K) > 0. При К > Кcr темп прироста объема выпускаемой продукции снижается, т. е. V"(K) < 0, и эффек­тивность увеличения капитальных затрат падает.

Таким образом, в стратегии капиталовложений оказывает­ся очень важным моментом определение критического объема затрат, сверх которого дополнительные затраты будут приво­дить все к меньшей отдаче при данной структуре организа­ции производства. Зная этот прогноз, можно пытаться совер­шенствовать и менять структуру организации производства: "улучшать" показатели b, с и Vlim в сторону повышения эф­фективности капиталовложений.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти пределы с использованием правила Лопиталя.

5.1. . 5.2. .

5.3. . 5.4. .

5.5. . 5.6. . 5.7. .

5.8. . 5.9. .

5.10. . 5.11. .

5.12. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = tg x до члена с x3 включительно.

5.13. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = e-x до члена с x2 включительно.

Найти пределы с использованием разложений по формуле Мак­лорена.

5.14. . 5.15. .

5.16. . 5.17. .

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций.

5.18. . 5.19.

5.20. .

Найти асимптоты графиков функций.

5.21. . 5.22. .

5.23. .

Исследовать и построить графики функций.

5.24. . 5.25. .

5.26. . 5.27. .

5.28. . 5.29. .

5.30. . 5.31.

5.32. . 5.33..

Решите задачи на наибольшее и наименьшее значения.

5.34. Разложить число 12 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

5.35. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V, при которых на облицовку дна и стен пойдет наименьшее количество материала.

5.36. Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Ох найти точку, сумма расстояний от которой до точек А и В наименьшая.

Решите задачи с экономическим содержанием.

5.37. Зависимость между издержками производства С и объ­емом продукции Q выражается функцией С = 30Q — 0,08Q3. Определить средние и предельные издержки при объеме про­дукции: а) Q = 5 ед., б) Q = 10 ед.

5.38. Функции долговременного спроса D и предложения S от цены р на мировом рынке нефти имеют соответственно вид

1) Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.

2) Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25%?

5.39. Функции спроса D и предложения S от цены р выража­ются соответственно уравнениями

Найти эластичность спроса и предложения при равновесной цене, а также изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10%.

5.40. Зависимость объема выпуска продукции V от капиталь­ных затрат К определяется функцией V = V0 ln (4 + K3). Найти интервал изменения К, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

6.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции

Предыдущие главы были посвящены одной из основных за­дач дифференциального исчисления — нахождению производ­ной заданной функции. Множество вопросов математическо­го анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого х Х функ­ция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Приведем примеры.

Пример 1. Функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на бесконечном промежутке (-, +), так как при любых х выполнено равенство (sin x)' = cos х.

Пример 2. Функция F(x) = ln x — первообразная для функ­ции f(x) = 1/x на промежутке (0, +), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство (ln x)' =1/x.