Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 14 )

Дневная выработка

Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжи­тельностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле

где t — время в часах, р0 — размерность производительности (объем продукции в час), t0 — размерность времени (ч). Эта формула вполне отражает реальный процесс работы (рис. 7.7): производительность сначала растет, достигая максимума в се­редине рабочего дня при t = 4 ч, а затем падает.

Решение. Полагая, что производительность меняется в те­чение дня непрерывно, т. е. р является непрерывной функцией аргумента t на отрезке [0, 8], дневную выработку Р можно вы­разить определенным интегралом:

где а0 — множитель, имеющий размерность единицы продук­ции. Если бы в течение всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью ртах = 6,2р0, то днев­ная выработка составила бы Рmах = 49,6а0, или примерно на 21% больше. Рис. 7.7 иллюстрирует решение задачи: дневная выработка численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой f(t); вторая кривая показывает рост выпуска продукции во времени (график первообразной F(t) соответствует правой оси ординат Р). Значение Т = 4 ч соответствует точке перегиба кривой F(t): в первой половине рабочего дня интенсивность выработки продукции выше, чем во второй. Штрихпунктирная прямая Р = рmахt соответствует выпуску продукции с равномерной производительностью рmах.

Выпуск оборудования при постоянном темпе роста

Производство оборудования некоторого вида характеризу­ется темпом роста его выпуска

где Δу — прирост выпуска этого оборудования за промежу­ток времени Δt, а у — уровень его производства за единицу времени на момент времени t. Найти общее количество обо­рудования, произведенного к моменту времени t, полагая, что К — известная постоянная величина, единицей времени явля­ется год, а в начальный момент времени t = 0 уровень ежегод­ного производства оборудования составлял у0.

Решение. Перейдем к пределу при Δt → 0, полагая, что он существует. Будем также полагать, что у является непре­рывной функцией от времени t. Согласно определению произ­водной функции

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до t, получаем

Суммарное количество оборудования, выпущенного за проме­жуток времени t, дается определенным интегралом

Например, при К = 0,05 (5% ежегодного темпа роста) об­щее количество оборудования, выпущенного за 10 лет, соста­вит

причем уровень производства за указанный период времени увеличится почти на 65%.

7.7. Несобственные интегралы

При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном отрезке и, во-вторых, ограничена. Данное выше определение определенного интегра­ла не имеет смысла при невыполнении хотя бы одного из этих условий. Нельзя разбить бесконечный интервал на конечное число отрезков конечной длины; при неограниченной функции интегральная сумма не имеет предела. Тем не менее возможно обобщить понятие определенного интеграла и на эти случаи, с чем и связано понятие несобственного интеграла.

Определение. Пусть функция f(x) определена на промежутке [а, +) и интегрируема на любом отрезке [a, R], R > 0, так что интеграл

имеет смысл. Предел этого интеграла при R называется несобственным интегралом с бесконечным пределом интег­рирования:

Если этот предел конечен, говорят, что несобственный ин­теграл (7.16) сходится, а функцию f(x) называют интегри­руемой на бесконечном промежутке [а, ); если же предел в (7.16) бесконечен или не существует, то говорят, что несобст­венный интеграл расходится.

Аналогичным образом вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-, b]:

Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пре­делами можно определить как сумму несобственных интегра­лов (7.16) и (7.17):

где с — любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода заключается в следующем: это площадь бесконечной об­ласти (рис. 7.8), ограниченной сверху неотрицательной функ­цией f(x), снизу — осью Оx, слева — прямой х = а.

Рассмотрим несколько примеров несобственных интегра­лов.

Здесь пришлось разделить исходный интеграл на два и к каж­дому из них применить определение несобственного инте­грала.

Пример 4. , где α — некоторое положительное число.

Решение. Рассмотрим разные случаи для числа α.

1. При α = 1 для любого R > 0 имеем

т. е. конечного предела не существует и несобственный интег­рал расходится.

2. При α ≠ 1 для любого R > 0 получаем

Следовательно, данный интеграл сходится при α > 1 и рас­ходится при α ≤ 1.

В приведенных выше примерах сначала с помощью пер­вообразной вычислялся интеграл по конечному промежутку, а затем осуществлялся переход к пределу. Между тем если для функции f(x) существует первообразная F(x) на всем проме­жутке интегрирования [а,), то по формуле Ньютона-Лейб­ница

Отсюда следует, что несобственный интеграл существует (схо­дится) в том и только в том случае, когда существует конеч­ный предел

и тогда можно записать:

Аналогичный вывод справедлив и для несобственных интегра­лов вида (7.17) и (7.18):

Иными словами, формула Ньютона-Лейбница (основная фор­мула интегрального исчисления) применима и в случае, когда пределы интегрирования бесконечны.

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить определенные интегралы.

Найти площади фигур, ограниченных следующими линиями.

Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной следующими линиями.

Вычислить несобственные интегралы в случае их сходимости.

7.32. Найти площадь, заключенную между кривой у = и ее асимптотой при х ≥ 0.

7.33. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох дуги кривой у = e-x от х = 0 до х = +.

Решить задачи с экономическим содержанием.

7.34. Найти стоимость перевозки М т груза по железной доро­ге на расстояние 1 км при условии, что тариф у перевозки одной тонны убывает на а р. на каждом последующем километре.

7.35. Мощность у потребляемой городом электроэнергии вы­ражается формулой

где t — текущее время суток. Найти суточное потребление электроэнергии при а = 15000 кВт, b = 12000 кВт.

8.1. Евклидово пространство Em

Евклидова плоскость и евклидово пространство

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещест­венных чисел (x, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: М(x, у).

Определение 1. Координатная плоскость называется евкли­довой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точ­ками M1(x1, y1) и М2(x2, y2) определено по формуле

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом случае каждая точка координатного пространства ха­рактеризуется тройкой чисел и тогда расстояние между дву­мя любыми точками пространства M(x1, y1 ,z1) и М(x2, y2, z2) определяется формулой

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространст­во определяются способом измерения расстояния между двумя любыми своими точками.

Понятия m-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных со­вокупностей т действительных чисел (x1, х2, x3, ..., xm) назы­вается т-мерным координатным пространством Аm.

Каждую упорядоченную совокупность (x1, x2, x3,, … ,xт,) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. При этом числа x1, x2, x3, …, xm называются коорди­натами точки М, что символически записывается следующим образом: М(x1, x2, ..., xm).

Определение 3. Координатное пространство Аm называется т-мерным евклидовым пространством Еm, если между двумя любыми точками М'(х1', х2, '... , хm') и М"(x1'', х2'',... , хm'') про­странства Аm определено расстояние ρ(М', М") по формуле

Очевидно, что введенные понятия m-мерного координат­ного пространства Аm и m-мерного евклидова пространства Em являются обобщениями понятий соответственно коорди­натных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.

8.2. Множества точек евклидова пространства Еm

Примеры множеств евклидова пространства Еm

Будем обозначать символом {М} некоторое множество то­чек m-мерного пространства Еm. Рассмотрим некоторые при­меры множеств в этом пространстве.

1. Множество {М} всевозможных точек, координаты x1, x2, ..., xm которых удовлетворяют неравенству

называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке M0(x,x,...,x).

Этот пример является m-мерным обобщением соответ­ственно круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом пространстве, которые задаются следующими не­равенствами:

Неравенство (8.2) можно переписать с учетом (8.1) в виде

В случае строгого неравенства ρ(М, М0) < R множество {М} называется открытым т-мерным шаром. Часто это мно­жество также называют R-окрестностью точки M0. В случае (8.3) если неравенство не строгое, множество {М} называет­ся замкнутым т-мерным шаром. Эти понятия переносятся на случай любой размерности при т ≥ 2.

2. Множество {М} точек, таких, что расстояние от каж­дой из них до некоторой точки M0 удовлетворяет равенству ρ(М, М0) = R, называется т-мерной сферой радиуса R с цент­ром в точке M0.

Аналогия: для плоскости — окружность (x – x0)2 + (у – y0)2 = R2 радиуса R с центром в точке М0(х0, у0), для пространства — сфера (x – x0)2 + (у – y0)2 + (z – z0)2 = R2 радиуса R с центром в точке М0(х0, у0, z0).

Понятие функции нескольких переменных

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {М} евклидова пространства Em по какому-либо закону ста­вится в соответствие некоторое число и из числового множес­тва U. Тогда будем говорить, что на множестве {М} задана функция и = f(M). При этом множества {М} и U называют­ся соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).

Как известно, функция одной переменной у = f(x) изобра­жается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {Мп} функции z = f(x, y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 8.1). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E3. Аналогичным образом функция от т пере­менных

определенная на множестве {М} евклидова пространства Еm, представляет собой гиперповерхность в евклидовом простран­стве Еm+1.

Некоторые виды функций нескольких переменных

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е3. Областью определения этой функции является все множест­во точек плоскости Оху. Область значений этой функции — промежуток [0, ). Данная функция представляет собой пара­болоид вращения (рис. 8.2): в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Оуz получаются соответственно параболы z = х2 и z = у2.

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е3. Область определения данной функции — все множество точек евклидова пространства Е2 или плоскости Оху. Эта функция является так называемым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат O(0, 0, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части (рис. 8.3):

Приведем теперь наиболее часто встречающиеся в различ­ных приложениях виды функций нескольких переменных.

1. Уравнение вида

называется общим уравнением плоскости в системе коорди­нат Oxyz. Вектор = (А, В, С) перпендикулярен плоскости (8.4); он называется нормальным вектором этой плоскости. Ес­ли известно, что плоскость проходит через некоторую точку M0(x0, y0, z0), то она может быть задана уравнением

Например, составить уравнение плоскости с перпендику­лярным вектором = (1, 2, -1), проходящей через точку М0 (2, 1, 1), Согласно формуле (8.5) имеем

2. Функция Кобба—Дугласа — производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Q при затратах ка­питала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид

где А > 0 — параметр производительности конкретно взятой технологии, 0 < α < 1 — доля капитала в доходе.

Линии уровня

Понятие линии уровня широко используется прежде всего в геодезии, картографии, при составлении синоптических карт, а также при описании различных физических полей (темпера­тура, давление и пр.).