Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 28 )

Пример 3. Вероятностный прогноз для величины Х — про­центного изменения стоимости акций по отношению к их те­кущему курсу в течение шести месяцев — дан в виде закона распределения:

Найти вероятность того, что покупка акций будет более вы­годна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3% в месяц составит через 6 месяцев [(l,03)6 - l]100% = 19,4%. Вероятность того, что покупка акций выгоднее бан­ковского депозита, определяется суммой вероятностей, соот­ветствующих более высокому росту курса акций:

Закон распределения дискретной случайной величины мож­но изобразить графически, соединив в прямоугольной систе­ме координат ХОР точки (хi, рi) отрезками прямых. Так, на рис. 18.1 показан закон распределения из примера 3. Такая фи­гура называется многоугольником распределения.

Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом ис­пытании постоянна (см. раздел 17.5). В качестве дискретной случайной величины Х рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, ..., xn+1 = n. Вероятности этих возможных значений k даются фор­мулой Бернулли (см. формулу (17.16)):

где q = 1 - р — вероятность противоположного события (непо­явление события А в одном испытании). Формула (18.2) пред­ставляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в n незави­симых испытаниях), которое называется биномиальным. Этот закон получил свое название потому, что правая часть в (18.2) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона (17.2). Таким образом, табличная форма биномиального закона с учетом формулы (18.2) имеет вид

Можно показать, что сумма всех вероятностей второй стро­ки этой таблицы равна единице, т. е.

Пример 4. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозвра­та кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вер­нувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невоз­врата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределе­нием (18.2), где р = 0,2, q = 0,8, k принимает значения от нуля до 5. Искомая таблица закона распределения составляется, со­гласно (18.3), при п = 5:

или окончательно:

Распределение Пуассона

Пусть в каждом из п производимых испытаний вероят­ность появления события А равна р. Как мы знаем, для опреде­ления вероятности k появлений события А используется фор­мула Бернулли (18.2); при больших п пользуются асимптоти­ческой формулой Лапласа (17.17). Однако эта формула плохо подходит для случая, когда р мало. Для случая малых значе­ний р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта формула выведена при важном допу­щении, что произведение пр является постоянной величиной, т. е. пр = λ. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, дается формулой, которая представляет собой за­кон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий:

Пример 5. На базу отправленоизделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.

Решение. По условию задачи п =, р = 0,0003, k = 4. Находим А, а затем по формуле (18.4) и искомую вероятность:

18.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Установленный закон распределения полностью характе­ризует случайную величину. Однако часто используются чи­словые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получа­емое на базе закона ее распределения.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Х может принимать значения x1, x2, ... , xn c вероятностями соответственно p1, p2, …, pn.

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Из этого определения следует, что математическое ожи­дание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Ве­роятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значений слу­чайной величины. Это хорошо видно в случае, когда вероятнос­ти всех возможных значений дискретной случайной величины равны: pi = р = 1/n; из формулы (18.5) получаем

Пример 1. Найти математическое ожидание количества оч­ков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Выпадение каждой грани кубика от одного очка до шести имеет одинаковую вероятность р = 1/6. Следова­тельно, по формуле (18.6) получаем искомое математическое ожидание:

Пример 2. Найти математическое ожидание числа невозвра­та кредитов по данным примера 4 п. 18.1.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределе­ния дискретной случайной величины, полученной в этом при­мере, и формулой (18.6); находим

Свойства математического ожидания

Математическое ожидание обладает рядом свойств, кото­рые указаны ниже.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной вели­чины С равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения не­зависимых случайных величин равно произведению их мате­матических ожиданий:

Пример 3. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и ре­кламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в сред­нем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при це­не на машину 150 тыс. р.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по фор­муле

Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных выше свойств математического ожидания (в тыс. р.):

Если в п независимых испытаниях вероятность появле­ния в каждом из них события А постоянна, то ответ на во­прос о среднем числе появления события А дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Математическое ожидание М(Х) числа появ­лений события А в п независимых испытаниях равно произве­дению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Пример 4. Найти математическое ожидание числа выигрыш­ных лотерейных билетов, если вероятность выигрыша по од­ному билету равна 0,015, причем куплено 200 билетов.

Решение. Поскольку приобретение каждого билета явля­ется независимым испытанием относительно появления собы­тия А — выпадения выигрыша, то здесь применимы теорема 18.1 и формула (18.7). В нашем случае n = 200, р = 0,015, откуда мы получаем

Дисперсия дискретной случайной величины

Как уже говорилось выше, математическое ожидание яв­ляется средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой причине рассматриваются и другие числовые ха­рактеристики. Пусть Х — случайная величина, а М(Х) — ее математическое ожидание.

Определение 2. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Пусть закон распределения случайной величины Х дается формулой (18.1), тогда отклонение X - M(X) имеет следующий закон распределения:

Отклонение имеет важное свойство, которое устанавливается непосредственно из свойств математического ожидания:

т. е. математическое ожидание отклонения равно нулю.

Пример 5. По данным примера 3 найти закон распределения отклонения числа проданных за день автомашин.

Решение. Как было подсчитано в примере 3, М(Х) = 2,675. Тогда, согласно (18.8), искомый закон определяется следующей таблицей:

На практике важной характеристикой является рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Среднее значение отклонения, соглас­но (18.9), равно нулю, так как суммируются отрицательные и положительные отклонения (см. пример 5), поэтому целесооб­разно ввести в рассмотрение абсолютные значения отклонений или их квадраты.

Определение 3. Математическое ожидание квадрата откло­нения называется дисперсией, или рассеянием:

Пусть случайная величина задана законом распределения (18.1), тогда квадрат отклонения этой случайной величины имеет следующий закон распределения:

Отсюда, согласно формуле (18.10), получаем формулу диспер­сии в развернутом виде:

При вычислении дисперсии часто бывает удобно воспользо­ваться формулой, которая непосредственно выводится из фор­мулы (18.10):

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа ав­томашин по данным примера 3.

Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид

Математическое ожидание М(Х2) подсчитывается из этой таб­лицы:

Математическое ожидание М(Х) = 2,675. Следовательно, со­гласно формуле (18.11), получаем искомую величину диспер­сии:

Свойства дисперсии

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Перечисленные свойства дисперсии используются при вы­числениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными ве­личинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X + C) = D(X), где С — постоянная величина. Кроме того, справед­лива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Дисперсия числа появления события А в п не­зависимых испытаниях с вероятностью появления р в каж­дом из них этого события вычисляется по формуле

Приведем здесь еще два важных результата: для случай­ной величины, распределенной по закону Пуассона (18.4), ма­тематическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.

Пример 7. Найти дисперсию числа выигрышных лотерейных билетов по данным примера 4.

Решение. Имеем 200 независимых испытаний с вероятнос­тью появления выигрышного билета р = 0,015. Стало быть, q = 1 - 0,015 = 0,985, откуда и получаем искомую дисперсию:

Пример 8. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти матема­тическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также усло­вие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании рав­на q = 1 - р. Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется фор­мулой

где Х является случайной величиной с биномиальным зако­ном распределения. Тогда, согласно теореме 18.1, математи­ческое ожидание прибыли определяется с использованием фор­мулы (18.7):

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положитель­ном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

Дисперсия прибыли банка находится, согласно теореме 18.2, с использованием формулы (18.14) и свойств 1-3:

Среднее квадратическое отклонение

Одной из основных оценок рассеяния возможных значе­ний случайной величины служит среднее квадратическое от­клонение.

Определение 4. Средним квадратическим отклонением слу­чайной величины Х (стандартом) называется квадратный ко­рень из ее дисперсии:

Согласно этому определению, из свойства 3 и формулы (18.13) следует, что в случае суммы взаимно независимых слу­чайных величин справедлива формула

Пример 9. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной следующим распределением:

Решение. Имеем М(Х) = 2,6. Составим таблицу распре­деления случайной величины X2:

Отсюда получаем, что М(Х2) = 14,4. По формулам (18.11) и (18.15) окончательно получаем искомые значения D(X) и. σ(Х):

Пример 10. Законы распределения независимых случайных величин Х и Y приведены соответственно в таблицах:

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение слу­чайной величины Z = 2Х + 3Y.

Решение. Согласно свойствам 2 и 3 дисперсии (формулы (18.12) и (18.13)), имеем

Для вычисления дисперсий D(X) и D(Y) составляем соответ­ствующие таблицы — законы распределения случайных вели­чин Х2 и Y2:

Отсюда получаем

Искомые дисперсия и среднее квадратичное отклонение слу­чайной величины Z равны:

Пример 11. В условиях примера 8 найти математическое ожи­дание и среднее квадратическое отклонение прибыли при п = 1000, р = 0,8, S = 100 тыс. р. и r = 30%.

Решение. Ставка ссудного процента удовлетворяет усло­вию, чтобы математическое ожидание прибыли было положи­тельным: 30 > ,8) / 0,8. Математическое ожидание при­были:

Среднее квадратическое отклонение прибыли:

Начальные и центральные моменты

Определение 5. Начальным моментом порядка k случай­ной величины Х называется математическое ожидание вели­чины Хk:

В частности,

и тогда формула (18.11) для вычисления дисперсии принимает вид

Определение 6. Центральным моментом порядка k случай­ной величины Х называется математическое ожидание k-й сте­пени отклонения:

В частности, согласно формуле (18.9), μ1 = 0, а дисперсия слу­чайной величины Х является центральным моментом второго порядка:

Соотношения, связывающие начальные и центральные мо­менты, также могут быть легко получены. Приведем их здесь для моментов третьего и четвертого порядков (они наряду с моментами первого и второго порядков широко применяются в статистике):

Моменты более высоких порядков применяются крайне редко.

Моменты, рассмотренные в этом разделе, называют те­оретическими. В отличие от них моменты, вычисляемые по данным наблюдений в математической статистике, называют эмпирическими.

18.3. Система двух случайных величин

Двумерная случайная величина

До сих пор мы рассматривали дискретные случайные ве­личины, которые называют одномерными: их возможные зна­чения определялись одним числом. Кроме одномерных вели­чин рассматривают также величины, возможные значения ко­торых определяются несколькими числами. Двумерную слу­чайную величину обозначают через (X, Y); каждая из величин X и Y называется компонентой (составляющей). Обе величи­ны Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Например, при штамповке стальных пластинок их длина и ширина представляют собой двумерную случайную величину.