Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 13 )

Выберем в каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] произволь­ную точку ξi:

Теперь образуем сумму произведений:

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ ука­зан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi) (i = 1, 2, ..., п).

Введем еще одну величину. Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:

Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интег­ралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:

Определенный интеграл обозначается символом

Если определенный интеграл (7.2) существует, то функ­ция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегри­рования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.

Величина определенного интеграла, согласно данному вы­ше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозна­чения переменной интегрирования, т. е.

Классы интегрируемых функций

Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегри­руемыми (т. е. существует определенный интеграл (7.2)), да­ют следующие теоремы, которые мы приводим без доказа­тельства.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) ин­тегрируема на этом отрезке.

7.2. Основные свойства определенного интеграла

1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на дру­гие случаи.

По определению полагаем

как определенный интеграл на отрезке нулевой длины.

Также по определению полагаем, что

поскольку при движении от b к а все длины частичных отрез­ков Δxi = xi-1 — xi имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).

2. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство

3. Постоянный множитель можно выносить за знак опреде­ленного интеграла:

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функ­ций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Будем полагать далее, что а < b.

5. Если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то

6. Если f(x) ≤ g(х) всюду на отрезке [а, b], то

7. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то

8. Если М и т — соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [а, b], то

7.3. Основная формула интегрального исчисления

ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первооб­разных является функция

В формуле (7.8) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.

Поскольку всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид

где С — произвольная постоянная.

Согласно теореме 7.4 непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой

где С — некоторая постоянная. Подставляя в (7.9) х = а, с учетом свойства 1 определенного интеграла получаем

Тогда из (7.9) имеем

Полагая х = b, получаем формулу

Равенство (7.10) называется основной формулой интег­рального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b) — F(a) условно записывают символом F(x), т. е.

Формула (7.11) дает широкие возможности вычисления оп­ределенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный ин­теграл и затем найти разность значений первообразной соглас­но (7.11). Рассмотрим примеры вычисления определенных ин­тегралов.

7.4. Основные правила интегрирования

Замена переменной в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на от­резке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непрерывна на [α, β] и множеством значений функции φ(t) является отрезок [а, b], 3) φ(α) = а, φ(β) = b. Тогда справедлива формула

Формула (7.12) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к преж­ней переменной, как это делалось при вычислении неопределен­ного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подста­новке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтеграль­ной функции.

Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.5, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).

Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

Решение. Выполним подстановку t = 1 + х2. Тогда dt = 2х dx, t = 1 при х = 0 и t = 2 при х = 1. Поскольку функция х = непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее в силу теоре­мы 7.5 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

Решение. Применим здесь подстановку х = a sin t. Тогда dx = a cos t dt, = a cos t, t = arcsin , t = 0 при x = 0, t = при x = а. Подставляя все это в исходный интеграл, получим

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Вычислим этот интеграл при помощи замены переменной t = tg х. Тогда t = 0 при х = 0 и t = 0 при х = π, х = arctg t, т. е. dx = dt / (l + t2). Подстановка в исходный интеграл дает

Полученное противоречие объясняется тем, что функция за­мены переменной t = tg x имеет разрыв при х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула

Равенство (7.13) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Рассмотрим ряд приме­ров вычисления определенных интегралов методом интегриро­вания по частям.

Решение. Положим здесь и = х, v = e-x, тогда dv = -e-xdx и

Решение. Здесь и = х, sin x dx = dv или v = - cos x; далее по формуле (7.13) имеем

7.5. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную гра­фиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b] и вертикальными прямыми х = а и х = b (рис. 7.2). Эту фигуру будем называть криволинейной трапе­цией.

Величина площади криволинейной трапеции равна опреде­ленному интегралу от функции f(x) на отрезке [а, b]:

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(х) соответственно, непрерывными на от­резке [а, b], то площадь S криволинейной фигуры равна разнос­ти площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(х):

Рассмотрим задачи на вычисление площадей фигур.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = ln x ≥ 0, осью Ох и прямой х = 2.

Решение. Отрезок интегрирования: 1 ≤ х ≤ 2 (рис. 7.3), так что искомая площадь согласно формуле (7.14) равна:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = х2.

Решение. Вычислим абсциссы точек пересечения указан­ных кривых, для чего приравняем правые части этих уравне­ний: х2 = . Корни этого уравнения суть x1 = 0, x2 = 1. Сле­довательно, площадь фигуры, ограниченной сверху функцией у = и снизу функцией у = x2 (рис. 7.4), дается определенным интегралом на отрезке [0,1]:

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении во­круг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функцией f(x) (рис. 7.5). Объем этого тела вращения определяется формулой

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оу, то, выражая х через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объ­ема тела вращения:

где [c, d] — область изменения функции у = f(x).

Рассмотрим примеры вычисления объемов тел, образован­ных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.

Пример 3. у = х2, у = вокруг оси Ох.

Решение. Искомый объем вращения равен разности объ­емов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно у = и у = х2. Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых: а = 0 и b = 1. По формуле (7.15) получаем

Пример 4. у = eх, х = 0, х = 1, у = 0 вокруг оси Оу.

Ррешение. Выражаем х через у: х = ln у; промежуток ин­тегрирования [1, е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.6) равен разности объемов соответствен­но цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой х = ln у. Согласно формуле (7.15) получаем

7.6. Некоторые приложения в экономике

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меня­ются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, пред­полагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмот­рим соответствующие примеры.