Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 27 )

Решение. Независимые события (гипотезы), образующие полную группу, — это B1 (изделие без брака) и В2 (изделие с браком). Пусть событие А заключается в том, что при проверке изделие признается годным. Ответ на первый вопрос задачи дает формула (17.14):

Следовательно, после проверки признаются годными около 88% всех изготовленных изделий.

Ответ на второй вопрос задачи дает формула Байеса (17.15) при п = 2 и i = 1:

Иными словами, среди изделий, прошедших проверку, содер­жится 99, 5% изделий без брака.

Пример 6. В среднем из каждых 100 клиентов отделения бан­ка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 — вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операци­онистом, составляет 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслу­живания клиента первым операционистом.

Решение. Вероятность того, что клиент попадет к перво­му операционисту (событие B1), составляет 0,6, ко второму — 0,4 (событие В2). Искомая вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом (событие А) определяется по формулам (17.14) и (17.15):

Иными словами, 64% клиентов, попавших на обслуживание к первому операционисту, будут обслужены им полностью.

17.5. Схема независимых испытаний

Формула Бернулли

Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются неза­висимыми относительно события А.

Будем рассматривать только такие независимые испыта­ния, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тог­да вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 - p. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится k раз и не осуществится п - k раз.

Вероятность этого сложного события, состоящего из п ис­пытаний, определяется формулой Бернулли

Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не менее двух раз.

Решение. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы, т. е. р = q = 0,5. 1) В этом случае п = 6, k = 2. Отсюда согласно формуле (17.16) получаем

Пример 2. Вероятность покупки бракованного комплекта по­суды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будет без брака.

Решение. Вероятность покупки комплекта без брака р = 0,9, q = 0,1 — это дано по условию задачи. Тогда искомая вероятность находится по формуле (17.16):

Пример 3. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каж­дый вопрос предлагается 4 варианта ответа, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного от­вета на два, три и четыре вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).

Решение. Искомые значения вероятности находятся по формуле Бернулли (17.16) с учетом того, что вероятность со­бытия А (правильный ответ) в каждом испытании (выбор от­вета на вопрос теста) равна 0,25, а q = 0,75. Отсюда получаем:

Локальная теорема Лапласа

Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду уве­личения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следую­щей локальной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда веро­ятность Pn(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции φ(x):

Точность формулы (17.17) возрастает с увеличением п. Имеются таблицы с вычисленными значениями функции φ(x) (см. Приложение), по которым можно с достаточно высокой степенью точности найти практически любое значение этой функции, а значит, и вычислить нужную вероятность. По­скольку функция φ(x) четная, то в таблицах даются ее значения только для положительных значений х; иными словами, знак аргумента не играет роли. Формула (17.17) носит название асимтотической формулы.

Пример 4. Вероятность выпуска бракованного изделия рав­на 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет ровно 60 изделий без брака.

Решение. Вероятность появления события А в одном ис­пытании (изделие без брака) р = 0,7, тогда q = 0,3, в нашем случае п = 100, k = 60. Последовательно вычисляем:

Теперь для найденного аргумента х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ(x); оно равно 0,0371. Подстановка этого числа в формулу (17.17) дает при­ближенное значение искомой вероятности:

Интегральная теорема Лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных п ис­пытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употре­бимы определения вероятности события А в п испытаниях, ког­да k изменяется в заданном интервале значений: l < k < т. Соответствующую вероятность обозначают Рп(l, т). Формула для приближенного вычисления этой вероятности устанавли­вается следующей интегральной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 8. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в п испытаниях от l до т раз, приближенно равна определенному интегралу:

Формула (17.18), как и (17.17), применима в случае боль­ших значений п и k. При вычислениях по этой формуле поль­зуются специальными таблицами для интеграла

поскольку соответствующий неопределенный интеграл не вы­ражается через элементарные функции. Функцию Ф(x) часто называют интегралом ошибок, соответствующая таблица ее значений приведена в Приложении. Эта функция является не­четной, поэтому в таблицах обычно приводят значения Ф(x) для положительных значений верхнего предела интегрирова­ния х. Более удобно использовать формулу (17.18) в виде фор­мулы Ньютона-Лейбница:

Пример 5. Вероятность выпуска бракованных деталей рав­на 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных деталей будет не менее 75 стандартных.

Решение. По условию задачи р = 0,7, q = 0,3, n = 100. Условие "не менее" означает, что число стандартных деталей k заключено в пределах от l = 75 до т = 100. Согласно формуле (17.19) производим предварительные вычисления:

Далее по табл. 2 Приложения находим соответствующие зна­чения интегральной функции Ф(x), подставляем их в формулу (17.19) и получаем значение искомой вероятности:

Пример 6. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застрахо­вавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р: 1) 0,9, 2) 0,995.

Решение. Прибыль компании зависит от числа страховых выплат k при несчастных случаях. Будем полагать, что вели­чина ее равна разности между суммами страховых взносов и страховых выплат:

Теперь задача состоит в нахождении такого числа N, чтобы вероятность несчастного случая Р10 000(k > N) была не больше заданной величины 1 — Р, или, что то же самое, чтобы выпол­нялось условие

Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит ,2N) млн р. Предварительные вычисления значений аргумен­та функции Ф(x) при п =, l = N и m =по фор­мулам (17.19) дают:

Из табл. 2 находим, что Ф(x) = 0,5 при |x| > 5. Подставляя в указанное выше неравенство, получаем

1. В этом случае имеем неравенство

По табл. 2 находим, что при значении функции Ф = 0,4 аргу­мент х равен 1,28; поскольку функция Ф(x) является монотонно возрастающей, то неравенство между значениями Ф(x) перехо­дит в неравенство такого же смысла и для соответствующих аргументов:

Отсюда получаем, что N ≥ 50 + 9,02, или N ≥ 60. В этом случае с вероятностью 0,9 страховой компании гарантирована прибыль

2. Проводя для этого случая аналогичные вычисления, по­лучим

Из табл. 2 находим, что при Ф(x) = 0,495 аргумент х = 2,57, т. е.

Из последнего неравенства получаем N ≥ 69, и в этом случае с вероятностью 0,995 компании гарантирована прибыль

Из решенной задачи хорошо видно, что увеличение риска страхования может привести к возрастанию прибыли компа­нии. Это есть реализация известного принципа в предпринима­тельской деятельности: менее рискованные, но более надежные финансовые операции не приносят сверхприбылей.

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности

Определение 2. Отношение числа испытаний в которых со­бытие А появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой события

где m — число появлений события A, n — общее число испы­таний.

Разница между вероятностью и относительной частотой состоит в том, что первая вычисляется до опыта, а вторая — после него. Одной из важных характеристик независимых ис­пытаний с постоянной вероятностью появления события А в каждом испытании (0 < р < 1) является отклонение относи тельной частоты от вероятности р. Вероятность того, что это отклонение не превышает по модулю заданного числа ε:

определяется формулой

Пример 7. Вероятность получения нестандартной детали р = 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно взятых 200 деталей относительная частота появления нестандартной детали отклонится от вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. В данном случае п = 200, q = 0,9, ε = 0,03. По формуле (17.20) имеем

Смысл полученного результата состоит в том, что при доста­точно большом числе проб, каждая из которых содержит 200 случайно выбранных деталей, в 84% случаев отклонение от­носительной частоты от постоянной вероятности р = 0,1 по абсолютной величине не превысит 0,03.

УПРАЖНЕНИЯ

17.1. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей.

17.2. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несе­ния караула выделяются по два человека. Можно ли соста­вить расписание караульной службы так, чтобы никакая па­ра военнослужащих этого взвода не несла караульную службу дважды?

17.3. Два букиниста обмениваются друг с другом парами книг. Найти число способов обмена, если первый букинист обмени­вает 6 книг, а второй — 8 книг.

17.4. Абонент забыл две промежуточные цифры номера теле­фона и набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер набран правильно в случаях: а) две разные цифры располо­жены в номере рядом; б) обе цифры расположены в разных местах, за исключением первой позиции.

17.5. В урне находится 10 шаров, 7 из которых белые. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.

17.6. В ящике имеется 15 деталей, из которых 10 стандартных. Сборщик наугад берет 3 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали будут стандартными.

17.7. В урне 40 шаров: 15 белых, 15 красных и 10 синих. Найти вероятность появления цветного шара.

17.8. Абонент забыл первую цифру телефонного номера. Най­ти вероятность того, что при наборе номера наудачу он набе­рет его верно не более чем с трех попыток.

17.9. В лотерее разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных вы­игрышей на каждые 10 тыс. билетов. Чему равна вероятность выигрыша вообще?

17.10. В условиях примера 17.7 из урны извлекают один шар, не возвращая его обратно, затем извлекают второй. Найти ве­роятность извлечения из урны во второй раз цветного шара.

17.11. В читальном зале имеется 6 учебников, из которых три нового выпуска. Читатель последовательно, один за другим, взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обе взятые книги нового выпуска.

17.12. Три автомашины направлены на перевозку груза. Ве­роятность исправного состояния первой из них составляет 0,7, второй — 0,8 и третьей — 0,5. Найти вероятность того, что все три автомашины находятся в эксплуатации.

17.13. В автохозяйстве имеются две автоцистерны. Вероят­ность технической исправности этих машин составляет соот­ветственно 0,9 и 0,8. Найти вероятность исполнения работы второй автоцистерной заказчику, сделавшему накануне заказ на автоцистерну.

17.14. Инвестор решил вложить поровну средства в три предприятия при условии возврата ему через определенный срок 150% от вложенной суммы каждым предприятием. Вероят­ность банкротства каждого из предприятий 0,2. Найти веро­ятность того, что по истечении срока кредитования инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму.

Указание. См. формулу (17.11) и пример 1 из п. 17.4.

17.15. При проверке изделия на соответствие стандарту веро­ятность того, что оно пройдет через первого контролера, рав­на 0,55, а через второго — 0,45. Вероятность признания без­дефектного изделия стандартным у первого контролера равна 0,9, а у второго — 0,98. Бездефектное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие прошло через второго контролера.

17.16. В одном из ящиков находится 7 деталей, из которых 3 нестандартные; в другом — 5 деталей, из них 2 нестандарт­ные. Из первого ящика наугад перекладывают деталь во вто­рой ящик, потом из него берут деталь. Найти вероятность то­го, что извлеченная деталь окажется нестандартной.

17.17. Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок по­разил цель, если вероятности попадания в цель стрелками со­ответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.

17.18. Определить, что вероятнее для соперников равной силы при игре в шахматы: выиграть одну партию из двух или две партии из четырех.

17.19. Монету бросают пять раз. Найти вероятность выпаде­ния одной из сторон: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

17.20. Вероятность выпуска стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 деталей будет ровно 75 стандартных.

17.21. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти ве­роятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек.

17.22. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 независимых испытаний. Найти вероятность появления события: а) не менее 1470 раз; б) не менее 1470 и не более 1500 раз; в) не более 1469 раз.

17.23. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрос­лого человека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, сре­ди какого числа взрослых человек можно ожидать, что в по­ликлинику будет не менее 75 обращений.

17.24. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Ве­роятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью: а) 0,8; б) 0,995?

17.25. Вероятность появления события в каждом из 900 неза­висимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,02 по абсолютной величине.

18.1. Случайные величины и законы их распределения

Виды случайных величин

В главе 17 рассматривались события, состоящие в появ­лении того или иного числа. Например, среди трех изъятых деталей может оказаться до трех стандартных.

Определение 1. Величину называют случайной, если в ре­зультате испытания она примет лишь одно возможное значе­ние, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Каждой случайной величине соответствует множество чи­сел — это множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. Далее будем обозначать случайные величины пропис­ными буквами, а их возможные значения — строчными бук­вами; например, случайная величина Х имеет два возможных значения x1 и х2. Другой пример: случайная величина Y при­нимает возможные значения, принадлежащие интервалу (а, b). Различают два вида случайных величин.

Определение 2. Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятнос­тями, называется дискретной случайной величиной.

Определение 3. Непрерывной называется случайная величи­на, которая может принимать все значения из некоторого про­межутка.

Как следует из определения 2, для задания дискретной слу­чайной величины нужно задать не только перечень ее возмож­ных значений, но и их вероятности. Иными словами, каждо­му возможному значению случайной величины соответствует определенное значение вероятности появления этой величины.

Дискретные случайные величины

Определение 4. Соответствие между отдельными возможны­ми значениями и их вероятностями называется законом рас­пределения дискретной случайной величины.

Как и в случае функциональной зависимости, этот закон можно задать таблицей, аналитически (формулой) и графи­чески. В случае табличного задания закона распределения дис­кретной случайной величины соответствующая таблица состо­ит из двух строк — первая указывает возможные значения, а вторая — их вероятности:

Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события Х = х1, Х = х2, …, Х = xп образуют полную группу, т. е. сумма их вероятностей равна единице:

Если множество возможных значений Х дискретной слу­чайной величины бесконечно, то соответствующий ряд веро­ятностей сходится и его сумма равна единице:

Пример 1. В денежной лотерее на 100 билетов разыгрывается один выигрыш в 20 р., два выигрыша по 10 р. и 10 выигры­шей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х возможного выигрыша на один билет.

Решение. Возможные значения X: x1 = 20, x2 = 10, x3 = 1, x4 = 0. Соответственно их вероятности равны: p1 = 0,01, р2 = 0,02, р3 = 0,1, р4 = 1 - (p1 +p2 + р3) = 1 - 0,13 = 0,87. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

Пример 2. Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. На­удачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона рас­пределения числа стандартных изделий среди отобранных.

Решение. Случайная величина Х — число стандартных деталей среди отобранных — может принимать 4 возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятность нахождения k стандартных изделий среди трех отобранных определяется формулой

Варьируя значения k от 0 до 3, получаем искомое распределе­ние: