Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 18 )

где С1 и С2 — произвольные постоянные. В зависимости от вы­бора знака С1 интеграл в правой части этого равенства (обо­значим его через I) может иметь разные выражения:

Решение. Это уравнение вида (10.6), т. е. оно не содержит явно независимой переменной х. Заменой z(y) = у' сведем его к уравнению первого порядка

Первое решение этого уравнения z = 0, или у = С, где С — по­стоянная величина. Сокращая после этого обе части уравнения на z, получаем — z = 0. Решение этого уравнения методом разделения переменных у и z дает z = С1ey. Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка

Разделение переменных x и у приводит к общему решению ис­ходного уравнения: e-ydy = C1dx, откуда e-y = С1х + С2, или окончательно

где С1 и С2 — произвольные постоянные. Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение у = С, указанное выше (при С1 = 0, С2 ≠ 0).

Далее мы рассмотрим наиболее употребимый в математи­ческих приложениях вид дифференциальных уравнений второ­го порядка.

10.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где y – искомая функция, а р(х), q(x) и f(x) – известные функции, непрерывные на некотором интервале (a, b).

Если f(x) ≡ 0, то уравнение (10.7) называется линейным однородным уравнением. Если f(x) ≠ 0, оно называется ли­нейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (10.7) относительно второй производной, то легко увидеть, что оно является частным случаем уравнения (10.2) и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (10.3) при x0 (а, b) это уравнение имеет единствен­ное решение задачи Коши.

В этом разделе мы рассмотрим важный и весьма распро­страненный случай, когда в уравнении вида (10.7) функции р(х) и q(x) — постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффи­циентами. Итак, мы рассматриваем уравнение вида

где р и q — вещественные числа. Как и в общем случае линей­ных дифференциальных уравнений второго порядка, основой в построении решения являются однородные уравнения.

Однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение

где р и q — вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, как следует из теоремы 10.1, мо­жет иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение урав­нения. Таких решений для уравнения второго порядка — два, каков и порядок уравнения.

Определение 3. Решения у1(х) и у2(х) уравнения (10.9) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю:

лишь в том случае, когда С1 = C2 = 0.

В том случае, когда можно найти такие числа С1 и С2, не равные нулю одновременно, что для функций у1(х) и у2(х) на некотором интервале (a, b) выполняется равенство (10.10) для любого х (а, b), эти функции называются линейно зависимы­ми на интервале (а, b). Линейная зависимость функций озна­чает их пропорциональность, например, у1(х)/у2(х) = —С2/С1, при у2(х) ≠ 0 и С1 ≠ 0.

ТЕОРЕМА 2. Пусть решения у1(х) и у2(х) уравнения (10.9) линейно независимы на интервале (а, b). Тогда функция

где С1 и С2 — произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения (10.9).

Эта теорема, по сути дела, выражает метод нахождения об­щего решения однородного дифференциального уравнения вто­рого порядка: нужно отыскать два линейно независимых реше­ния и взять их линейную комбинацию вида (10.11).

Будем искать решение уравнения (10.9) в виде у = еkx, где k — некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение (10.9), получаем

Сокращая обе части этого равенства на еkx, получаем квад­ратное уравнение относительно k

Стало быть, если число k является корнем уравнения (10.12), то функция у = еkx есть решение однородного уравнения (10.9). Уравнение (10.10) называется характеристическим уравнени­ем для дифференциального уравнения (10.9).

Вид общего решения уравнения (10.9) существенно зави­сит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (10.10). Обозначим эти корни через k1 и k2. Справедлива сле­дующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. А) Если корни характеристического уравне­ния вещественные и k1 ≠ k2, то общее решение однородного дифференциального уравнения (10.9) имеет вид

Б) если корни уравнения (10.12) вещественные и равные между собой (k1 = k2 = k), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид

В) если корни характеристического уравнения комплекс­ные (k1 = а + bi, k2 = а — bi, где i =, a и b — вещественные числа), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид

где а = -р/2, b =. Во всех трех случаях С1 и С2 — произвольные постоянные.

Заметим, что когда дискриминант характеристического уравнения (10.12) отрицательный, корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представля­ют собой комплексно-сопряженные числа; в случае В исполь­зована их алгебраическая форма.

Рассмотрим примеры отыскания общих решений однород­ных дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение. Характеристическое уравнение данного диффе­ренциального уравнения имеет вид

Его корни вещественные и различны: k1 = 1, k2 = 4. Следова­тельно, общее решение данного уравнения имеет вид

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Оно имеет кратный корень k = 3; следовательно, общее реше­ние данного однородного уравнения имеет вид

Решение. Соответствующее характеристическое уравне­ние

имеет дискриминант, равный —1, и, значит, комплексно-соп­ряженные корни таковы: k1 = 1 + i, k2 = 1 — i, где i = — мнимая единица. Следовательно, общее решение данного урав­нения дается формулой

Неоднородные уравнения второго порядка

Что касается решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то их решение пол­ностью основывается на следующей фундаментальной теореме.

ТЕОРЕМА 4. Общее решение неоднородного уравнения (10.8) состоит из суммы его частного решения и общего ре­шения соответствующего однородного уравнения (10.9).

В ряде случаев удается "угадать" или подобрать частное решение неоднородного уравнения по виду его правой части. Рассмотрим несколько примеров решения таких уравнений.

Решение. Соответствующее однородное уравнение было рассмотрено в примере 1. Исходя из вида правой части, бу­дем искать частное решение данного неоднородного уравнения в виде константы: = С. Подставляя это решение в уравне­ние, получаем, что С = 2. Отсюда следует, что общее решение неоднородного уравнения имеет вид

Решение. Для отыскания частного решения этого неодно­родного уравнения воспользуемся методом неопределенных ко­эффициентов, не содержащим процесса интегрирования. Бу­дем искать это решение в виде многочлена той же степени, что и правая часть, т. е. = Ax + В, где А и В — неизвест­ные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя в исходное уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обе­их частях этого равенства, находим 9А = 9, -6А + 9В = 0. Отсюда А = 1, В = 2/3, т. е. = x + 2/3. Соединяя это реше­ние с общим решением соответствующего однородного урав­нения (см. пример 2), получаем общее решение неоднородного уравнения:

Решение. В этом случае частное решение (x) ищем в виде Се2x. Подстановка в данное уравнение дает C = 1. Соединяя полученное частное решение с общим решением однородного уравнения (см. пример 3), окончательно имеем

Примечание 1. В общем случае, когда характеристи­ческое уравнение содержит нулевой корень кратности s, а пра­вая часть неоднородного уравнения представляет собой много­член Рп(х) степени п, частное решение этого уравнения ищется в виде Qn(x)xs, где Qn(x) — многочлен степени п с неизвестны­ми коэффициентами, которые определяются вышеуказанным методом.

Примечание 2. В общем случае, когда правая часть неоднородного уравнения имеет вид еrx, его частное решение ищется в виде (х) = xserx, где s — кратность корня k = r в характеристическом уравнении (10.12).

10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы су­ществования и единственности решения для уравнения второ­го порядка

определена задача Коши, когда в точке х = x0 заданы значения неизвестной функции и ее производной:

Если выполнены условия теоремы 10.1, то задача Коши (10.13), (10.14) однозначно определяет частное решение.

Однако существует и другой тип задач для дифференци­альных уравнений второго порядка — значения неизвестной функции задаются в двух разных точках. Иными словами, при решении уравнения (10.13) на интервале (а, b) рассмотрим гра­ничные условия наиболее простого вида на концах интервала

В этом случае уравнение (10.13) совместно с условиями (10.14) называется первой краевой задачей для уравнения второго по­рядка. Поскольку второе условие в (10.15) равносильно второ­му условию в (10.14), то указанная краевая задача может иметь единственное решение, т. е. определять единственным образом частное решение дифференциального уравнения (10.13), прохо­дящее через точки (x1, y1), (x2, y2). Так, для линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка первая краевая зада­ча имеет решение, если определитель системы линейных алгеб­раических уравнений относительно произвольных постоянных C1 и С2

реализующей краевые условия (10.15), отличен от нуля. Здесь в соответствии с теоремой 10.4 (x) — частное решение не­однородного уравнения, у1(х) и у2(х) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения. В таком случае краевая задача с условиями (10.15) однозначно опреде­ляет частное решение дифференциального уравнения (10.8).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее краевым условиям

Общее решение этого уравнения было найдено в примере 4 и. 10.3:

Для отыскания частного решения, соответствующего данным краевым условиям, подставим это решение в эти краевые усло­вия. Получаем систему линейных уравнений относительно про­извольных постоянных С1 и С2

Нетрудно видеть, что определитель этой системы не равен ну­лю, т. е. данная краевая задача имеет решение. Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 2, получаем С2, а затем из первого уравнения — С1:

Отсюда решение данной краевой задачи как частное решение дифференциального уравнения, проходящее через точки (0, 1) и (ln 2, 2), имеет вид

УПРАЖНЕНИЯ

Найти общие решения линейных однородных уравнений с по­стоянными коэффициентами.

Найти общие решения неоднородных уравнений.

Найти решения уравнений второго порядка, удовлетворяющих указанным условиям задачи Коши.

Найти решения уравнений второго порядка, удовлетворяющих заданным краевым условиям.

В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры примене­ния теории дифференциальных уравнений в непрерывных мо­делях экономики, где независимой переменной является вре­мя t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономичес­кой динамики.

11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Модель естественного роста выпуска

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество про­дукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т. е.

где m — норма инвестиции — постоянное число, причем 0 < т < 1.

Если исходить из предположения о ненасыщаемости рын­ка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расшире­ния выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпус­ка (акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т. е.

где 1/l — норма акселерации. Подставив в (11.2) формулу (11.1), получим

Дифференциальное уравнение (11.3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид