Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 2 )

Это учебное пособие написано на основе лекций, читаемых авторами в течение ряда лет в экономических вузах Москвы и Самары.

В книге изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных эконо­мических приложениях: математический анализ функций од­ной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, ос­новы теории вероятностей и математической статистики, эле­менты линейного программирования и оптимального управ­ления. Именно такой объем знаний актуален сегодня для лиц, получающих образование по экономическим специальностям (в том числе и второе образование), и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономичес­ким дисциплинам.

Изложение материала проведено почти без доказательств — основной упор сделан на приобретение навыков использова­ния математического аппарата. Каждый раздел сопровожда­ется решением большого числа характерных задач и соответ­ствующих экономических приложений, сложность которых по­степенно возрастает от раздела к разделу. Приложения, пред­ставляющие в экономике самостоятельный интерес, выделены в специальные разделы. Книга содержит также обширную под­борку задач и упражнений, оформленную в виде практикума с разделами по каждой теме.

Предлагаемое учебное пособие может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осущест­вляющих экономическое образование с широким спектром требований. Эта книга будет весьма полезной и востребованной при подготовке студентов и слушателей заочного и дистанци­онного обучения, при комплектовании контрольных заданий можно использовать практикум.

Благодаря обширному материалу и большому числу раз­обранных задач и экономических приложений предлагаемая книга может служить справочным пособием для специалистов, работающих в различных областях экономики.

Математика — одна из самых древних наук. Она появилась из насущных нужд человека, когда возникла потребность в количественном отображении окружающего его мира.

Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции примерно в VI в. до н. э. Все философские школы того времени включали математику в круг вопросов миросозерцания; строгий язык формальной логики (именно он стал языком математики) формировал уровень и строй мышления. В III в. до н. э. математика выделилась из философии, что отражено в "Началах" — эпохальном труде, прославившем в веках имя Евклида и заложившем фундамент классической геометрии. Более двух тысяч лет математику изучали по этой книге.

Много веков после этого математика практически не эво­люционировала, XVII век стал эпохой ее бурного развития. Применение математики Галилеем и Кеплером в исследова­нии движения небесных тел привело к поразительным по тому времени открытиям — законам движения планет вокруг Солнца. Труды Декарта, Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап развития математики — появление математики перемен­ных величин. Начинается период дифференциации единой нау­ки на ряд самостоятельных математических наук: алгебру, ма­тематический анализ, аналитическую геометрию. В свою оче­редь это инициировало интенсивное развитие физики и астро­номии.

Имена русских ученых занимают достойное место в исто­рии развития математики: (1792 — 1856), (1801 — 1861), (1821 — 1894), (1856 — 1922) и другие. Достижения современной математики во многом обусловлены трудами из­вестных российских ученых: , , и многих других.

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс про­исходит благодаря разделению математики на ряд самостоя­тельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика как наука об объективных причинах функцио­нирования и развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристи­ками, а потому вобрала в себя большое число математичес­ких методов. Современная экономика использует специальные методы оптимизации, составляющие основу математического программирования, теории игр, сетевого планирования, тео­рии массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит будущему специалисту не только при­обрести необходимые базовые навыки, используемые в эконо­мике, но и сформировать компоненты своего мышления: уро­вень, кругозор и культуру. Все это понадобится для успешной работы и для ориентации в будущей профессиональной дея­тельности.

Раздел I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

Часть 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Математический анализ представляет собой основу всей высшей математики. Его содержание составляют дифферен­циальное и интегральное исчисления одной и нескольких пере­менных.

1.1. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами

Понятие множества является одним из основных в ма­тематике. Система, семейство, совокупность — эти термины можно считать синонимами слова "множество". Множество можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество зрителей в данном кинотеатре; множество студентов определенного учеб­ного заведения; совокупность студентов, учащихся на "хоро­шо" и "отлично" в некоторой школе, совокупность коммерчес­ких банков, имеющих уставный фонд не ниже 100 миллиардов рублей. Множество может содержать конечное или бесконеч­ное число объектов.

Объекты, составляющие множество, называются его эле­ментами или точками. Обычно множества обозначаются боль­шими буквами, а входящие в них элементы — малыми буква­ми. Выражение "элемент х из множества Х" соответствует записи х Х (х принадлежит X); если же элемент х не вхо­дит в множество X, то это соответствует записи х Х (х не принадлежит X).

Пусть Х и Y — два множества. Тогда между ними мож­но определить следующие соотношения. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, что соответствует записи X=Y. Если все элементы множества Х содержатся в множестве Y, то Х целиком содержится в Y, или Х Y (X является подмножеством множества Y). Если ни один элемент множества Х не содержится в Y, то, значит, и само множество X не содержится в Y, или X Y.

В математике используется понятие пустого множества, обозначаемого символом Ø. Это множество, в котором не содер­жится ни один элемент, и потому оно является подмножеством любого множества.

Введем также понятия суммы множеств и их пересечения. Суммой или объединением двух множеств Х и.Y называет­ся совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Сумма этих множеств обозначается XY. Например, пусть Х — множество государственных предприя­тий с годовым оборотом не ниже S денежных единиц, а Y — множество негосударственных предприятий с тем же порогом годового оборота; тогда Х Y будет множеством всех пред­приятий с указанным нижним ограничением S.

Отметим, что добавление пустого множества Ø к любому множеству Х не меняет этого множества, т. е.

Х Ø = Х.

Пересечением множеств Х и Y (или их общей частью) яв­ляется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y; это множество обозначается Х Y. На­пример, если Х — это множество предприятий с годовым обо­ротом Т не ниже s, а Y — совокупность предприятий с годовым оборотом не более S, причем s < S, то в пересечение Х Y войдут объекты с годовым оборотом T, удовлетворяющим не­равенству

s ≤ T ≤ S.

Отсутствие элементов со свойствами множеств Х и У одновременно означает, что пересечение этих множеств представ­ляет собой пустое множество Ø. Схематически пересечение двух множеств показано на рис. 1.1 (заштрихованная область).

Рис. 1.1

Разностью множеств Х и Y называется множество Z, со­держащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y; эта разность обозначается Z = Х \ Y.

В общем случае сложение и пересечение определяются для любого конечного числа множеств путем последовательного попарного проведения соответствующих операций.

В математических формулировках довольно часто исполь­зуются отдельные предложения и слова, так что при их записи целесообразно употреблять экономную логическую символику. Вместо выражения "любое х из множества X" употребима за­пись , где перевернутая латинская буква взята от начала английского слова Any — любой. Аналогично вместо выражения "существует элемент х из множества X" кратко пишут:, где перевернутая латинская буква является начальной в английском слове Existence — существование.

1.2. Вещественные числа и их свойства

Множество вещественных чисел является бесконечным. Оно состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональ­ным называется число вида p/q, где р и q — целые числа. Вся­кое вещественное число, не являющееся рациональным, назы­вается иррациональным. Всякое рациональное число либо является целым, либо представляет собой конечную или пери­одическую бесконечную десятичную дробь. Например, рацио­нальное число 1/9 можно представить в виде 0,11111.... Иррациональное число представляет собой бесконечную неперио­дическую десятичную дробь; примеры иррациональных чисел:

= 1,...; = 3,....

Сведения о вещественных числах могут быть кратко сис­тематизированы в виде перечисления их свойств.

А. Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары вещественных чисел а и b определены единственным образом два вещественных числа а + b и а ∙ b, называемые соответственно их суммой и произведением. Для любых чисел а, b и с имеют место следующие свойства.

1. a + b = b + а, а ∙ b = b ∙ а (переместительное свойство).

2. а + (b + с) = (а + b) + с, а ∙ (b ∙ с) = (а ∙ b) ∙ с (сочетательное свойство).

3. (а + b) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с (распределительное свойство).

4. Существует единственное число 0, такое, что а + 0 = a для любого числа а.

5. Для любого числа а существует такое число (-а), что а + (-а) = 0.

6. Существует единственное число 1 ≠ 0, такое, что для любого числа а имеет место равенство

а ∙ 1 = a.

7. Для любого числа а ≠ 0 существует такое число а-1, что а ∙ а-1 = 1. Число а-1 обозначается также символом .

В. Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а меньше b). Отношение равенства обладает свойством транзитивности: если а = b и b = с, то а = с.

Отношение "больше" обладает следующими свойствами.

8. Если а > b и b > с, то а > с.

9. Если а > b, то а + с > b + с.

10. Если а > 0 и b > 0, то а b > 0

Вместо соотношения а > b употребляют также b < а. Запись а ≥ b (b ≤ а) означает, что либо а = b, либо a > b. Соотношения со знаками >, <, ≥ и ≤ называютcя неравенствами, причем соотношения типа 8 < 10 — строгими неравенствами.

11. Любое вещественное число можно приблизить рацио­нальными числами с произвольной точностью.

С. Непрерывность вещественных чисел.

12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел и выполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются нера­венства х ≤ с ≤ у.

Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.

Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойства­ми А-С. Такое определение, из которого выводятся ос­тальные свойства, называется аксиоматическим, а сами свойства А-С — аксиомами вещественных чисел.

1.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней

Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональ­ной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х и Y установлено соответствие, если по какому-либо закону или правилу каждому элементу х Х соответствует элемент у Y. Соответствие называется взаимно однозначным, если любому х Х соответствует только один элемент из Y и, наоборот, любому у Y соответствует только один элемент .

Оказывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой может быть установлено вза­имно однозначное соответствие. Это дает возможность нагляд­но геометрически изобразить вещественные числа на числовой оси. На прямой выберем точку О начала отсчета, укажем на­правление отсчета (обычно слева направо, рис. 1.2) и единицу измерения или масштаб.

Рис. 1.2

Эти три действия полностью определяют нам числовую (ко­ординатную) ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Пусть М — произвольная точка на этой оси. По­ставим ей в соответствие число x, равное по величине длине отрезка ОМ, со знаком +, если точка М находится справа от начала отсчета, или со знаком —, если М расположена слева от точки О. Тогда число х называется координатой точки х. Справедливо и обратное утверждение: каждому вещественно­му числу х соответствует определенная точка на координатной оси, координата которой равна х.

Пусть а и b — два числа, причем а < b. Укажем некоторые наиболее употребительные числовые множества:

1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а ≤ х ≤ b, называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, b];.

2) множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравен­ству а < х < b, называется интервалом и обозначается (а,b);

3) множество всех вещественных (действительных) чисел бу­дем обозначать

4) аналогично пп. 1-3 можно определить числовые множества типа (a,b], [а, b), (а, +), (-,b), [а, +) и (-, b].

Все эти множества называются промежутками; промежут­ки типа 1 и 2 и первые два из п. 4 называются конечными, а числа а и b — их концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 называются полуинтервалами.

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент [а, b] изображается отрезком М1М2, таким, что точка M1 имеет координату а, точка M2 — координату b. Вся координатная прямая является изображени­ем множества всех вещественных чисел, и потому множество (-, ) называется числовой прямой (осью), а любое число называется точкой этой прямой.

1.4. Грани числовых множеств

Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число d, такое, что для любого х Х выполняется неравенство х ≤ d (х ≥ d). Число d тогда называется верхней (нижней) гранью множества X. Множест­ва, ограниченные снизу и сверху, называются ограниченными. Любой конечный промежуток ограничен. Интервалы (а, +) и (-, b) представляют собой множества, ограниченные соот­ветственно снизу (сверху), но не ограниченные сверху (снизу). Вся числовая прямая не ограничена ни снизу, ни сверху.

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечное число верхних (нижних) граней. Действительно, если число d является верхней гранью множества X, то и любое чис­ло d1 > d, согласно определению верхней грани, также будет верхней гранью этого множества. Наименьшая верхняя грань множества X, ограниченного сверху, называется точной верх­ней гранью этого множества; она обозначается символом supX. Наибольшая нижняя грань ограниченного снизу множества Х называется точной нижней гранью этого множества и обозна­чается символом infX. Эти символы заимствованы из латин­ского языка: supremum — наивысший и infimum — наиниз­ший.

Приведем некоторые примеры. Пусть Х = (а, b). В таком cлучае числа а и b являются точными нижней и верхней граня­ми множества X, т. е. а = inf X, b = sup X. Пусть X = (-, b). Тогда нижних граней (в том числе и точной нижней грани) множество Х не имеет, а число b является его точной верхней гранью: b = sup X.

Известна следующая теорема о существовании точной верх­ней (нижней) грани числового множества, которую мы приво­дим ниже без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Если непустое числовое множество ограниче­но сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

1.5. Абсолютная величина числа

Приведем определение абсолютной величины вещественно­го числа х (модуля числа):

х, если х ≥ 0;