Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 3 )

|x| =

-х, если х < 0.

Из этого определения следует ряд свойств абсолютной величи­ны, который мы приводим ниже без доказательств.

1. |х| ≥ 0.

2. |х| = | - x|.

3. -|х| ≤ х ≤ |x| .

4. Пусть а — положительное число. Тогда неравенства |х| ≤ а и - а ≤ х ≤ а равносильны.

5. Для любых двух действительных чисел х и у справед­ливо неравенство

|x + y| ≤ |x| + |y|.

В это свойство можно включить также и неравенство

|х – у| ≤ |х| + |у|.

6. Для любых двух действительных чисел х и y справед­ливо неравенство

|х – y| ≥ |х| -|у|.

УПРАЖНЕНИЯ

Определить множества значений x, удовлетворяющих следую­щим условиям.

1.1. |х| < 2. 1.2. x2 ≤ 9. 1.3. х2 > 25. 1.4. |x – 3| < 1. 1.5. (x2 + l) ≤ 17. 1.6 (x2 - 3) ≥ 1. 1.7. х - х2 > 0.

1.8. x2 – 2x + 7 > 0. 1.9. x2 – 2x + 5 < 0.

2.1. Числовые последовательности

Числовые последовательности и операции над ними

Числовые последовательности представляют собой беско­нечные множества чисел. Примерами последовательностей мо­гут служить: последовательность всех членов бесконечной гео­метрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x1 = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последова­тельности.

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., п,... поставлено в соответствие вещественное число xп, то множество вещественных чисел

x1, x2, x3, …, xn, … (2.1)

называется числовой последовательностью, или просто после­довательностью. .

Числа х1, x2, x3, ..., xп, ... будем называть элемента­ми, или членами последовательности (2.1), символ xп — об­щим элементом, или членом последовательности, а число п — его номером. Сокращенно последовательность (2.1) будем обо­значать символом {хп}. Например, символ {1/n} обозначает последовательность чисел

.

Иными словами, под последовательностью можно понимать бесконечное множество занумерованных элементов или мно­жество пар чисел (п, xп), в которых первое число принимает последовательные значения 1, 2, 3, ... . Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула xп = -1 + (-1)n определяет последовательность 0, 2, 0, 2,... .

Геометрически последовательность изображается на число­вой оси в виде последовательности точек, координаты кото­рых равны соответствующим членам последовательности. На рис. 2.1 изображена последовательность {хп} = {1/n} на чи­словой прямой.

Понятие сходящейся последовательности

Определение 2. Число а называется пределом последова­тельности {xn}, если для любого положительного числа ε су­ществует такой номер N, что при всех п > N выполняется неравенство

(2.2)

Последовательность, имеющая предел, называется сходя­щейся. Если последовательность имеет своим пределом число а, то это записывается так:

Последовательность, не имеющая предела, называется рас­ходящейся.

Определение 3. Последовательность, имеющая своим преде­лом число а = 0, называется бесконечно малой последователь­ностью.

Замечание 1. Пусть последовательность {хп} имеет своим пределом число а. Тогда последовательность {αn}= {xn — a} есть бесконечно малая, т. е. любой элемент xп сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде

где αn — элемент бесконечно малой последовательности {αn}.

Замечание 2. Неравенство (2.2) эквивалентно неравен­ствам (см. свойство 4 модуля числа из п. 1.5)

Это означает, что при п > N все элементы последователь­ности {xn} находятся в ε-окрестности точки а (рис. 2.2), причем номер N определяется по величине ε.

Интересно дать геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность представляет со­бой бесконечное множество чисел, то если она сходится, в лю­бой ε-окрестности точки а на числовой прямой находится бес­конечное число точек — элементов этой последовательности, тогда как вне ε-окрестности остается конечное число элемен­тов. Поэтому предел последовательности часто называют точ­кой сгущения.

Замечание 3. Неограниченная последовательность не имеет конечного предела. Однако она может иметь бесконеч­ный предел, что записывается в следующем виде:

(2.3)

Если при этом начиная с некоторого номера все члены по­следовательности положительны (отрицательны), то пишут

Если {xn} — бесконечно малая последовательность, то {1/xп} — бесконечно большая последовательность, имеющая бесконечный предел в смысле (2.3), и наоборот.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся последова­тельностей.

Пример 1. Показать, используя определение предела последовательности, что .

Решение. Возьмем любое число ε > 0. Так как

то чтобы выполнялось неравенство (2.2), достаточно решить неравенство 1 / (n + 1) < ε, откуда получаем n > (1 — ε) / ε. Доста­точно принять N = [(1 — ε)/ε] (целая часть числа (1 — ε)/ ε)* , чтобы неравенство |xп — 1| < ε выполнялось при всех п > N.

* Символ [a] означает целую часть числа а, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее а. Например, [2] = 2, [2,5] = 2, [0,8] = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Пример 2. Показать, что последовательность {хп} = (-1)n, или -1, 1, -1, 1,... не имеет предела.

Решение. Действительно, какое бы число мы ни предпо­ложили в качестве предела: 1 или —1, при ε < 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется — вне ε - окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов xп: все элементы с нечетными номерами рав­ны —1, элементы с четными номерами равны 1.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Приведем основные свойства сходящихся последовательнос­тей, которые в курсе высшей математики сформулированы в виде теорем.

1. Если все элементы бесконечно малой последователь­ности {хп} равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {хп} и {уп} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последо­вательностей {xп} и {yп}.

5. Произведение сходящихся последовательностей {хп} и {уп} есть сходящаяся последовательность, предел ко­торой равен произведению пределов последовательностей {хп} и {уп}.

6. Частное двух сходящихся последовательностей {хп} и {уп} при условии, что предел последовательности {уп} отличен от нуля, есть сходящаяся последователь­ность, предел которой равен частному пределов после­довательностей {хп} и {yп}.

7. Если элементы сходящейся последовательности {хn} удовлетворяют неравенству xп ≥ b (хп ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последова­тельности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последователь­ность.

Рассмотрим применение этих свойств на примерах.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При n числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т. е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает сущест­вование конечных пределов последовательностей. Преобразу­ем данную последовательность, разделив числитель и знаме­натель на n2. Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно на­ходим

Пример 4. Найти предел последовательности {xп} = при п.

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, и потому снача­ла необходимо выполнить соответствующие преобразования. Поделив числитель и знаменатель на n, получаем

Поскольку в числителе стоит произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность, то в силу свойства 8 окончательно получаем

Пример 5. Найти предел последовательности {хп} = при п .

Решение. Здесь применить непосредственно теорему о пределе суммы (разности) последовательностей нельзя, так как не существует конечных пределов слагаемых в формуле для {хп}. Умножим и разделим формулу для {хn} на сопряженное выражение :

Число е

Рассмотрим последовательность {хп}, общий член которой выражается формулой

В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает и имеет предел. Этот предел называют числом е. Следовательно, по определе­нию

Число е играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точнос­тью. Отметим здесь, что число е является иррациональным; его приближенное значение равно е = 2,7182818... .

2.2 Применение в экономике

Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.

Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид

(2.4)

где Q0 — первоначальная сумма вклада в банк, р — процент начисления за определенный период времени (месяц, год), п — количество периодов времени хранения вклада, Q — сумма вклада по истечении п периодов времени. Формулы типа (2.4) используются также в демографических расчетах (прирост на­родонаселения) и в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта). Пусть первоначальный депозит Q0 помещен в банк под р = 100% годовых, тогда через год сумма депозита составит 2Q0. Предположим, что через полгода счет закроется с результатом и эта сумма будет вновь помещена в качестве депозита в том же банке. В конце года депозит будет составлять . Будем уменьшать срок размещения депозита в бан­ке при условии его последующего размещения после изъятия. При ежеквартальном повторении этих операций депозит в конце года составит . Если повторять операцию изъятие-размещение в течение года сколько угодно раз, то при ежемесячном манипулировании сумма за год составит ; при ежедневном посещении банка ; при ежечасном — и т. д. Нетрудно видеть, что последовательность значений возрастания первоначально­го вклада {qn} = {Qn/Q0} как раз совпадает с последователь­ностью, пределом которой является число ε при п соглас­но (2.4). Таким образом, доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более чем

В общем случае, если р — процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины

где r = р/100. Это выражение можно преобразовать:

Мы можем ввести новую переменную и при n получим m , или

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычисле­ниями по непрерывным процентам.

Пример 2. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Применение формулы сложных процентов дает

где Q0 — первоначальная сумма, 182 — число дней в полуго­дии. Преобразуя это выражение, получаем

т. е. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти пределы следующих последовательностей.

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

2.9. Прирост населения страны составляет р процентов в год. За сколько лет население страны удвоится? Дать ответ при а) р = 3% и б) р = 5%.

2.10. Коммерческий банк, обслуживающий предприятие по вы­даче заработной платы, задерживает перечисляемые ему сред­ства в среднем на 9 месяцев. За это время он успевает три раза "прокрутить" эти деньги в виде краткосрочных кредитов, вы­даваемых частным предпринимателям на три месяца, под 3% в месяц. Сколько процентов прибыли получает банк на этой операции?

2.11. В условиях предыдущей задачи рассчитать, что выгод­нее банку: кредитовать из собственных средств предприятия на условиях ставки годового процента, равной 20%, или зани­маться вышеуказанной деятельностью.

2.12. Темп инфляции составляет 6% в месяц. Каков должен быть процент годовой ставки кредита, выдаваемого банком, чтобы прибыль от кредитования составляла 12% в год?

3.1. Понятие функции

Определение функциональной зависимости

Определение 1. Пусть Х и Y — некоторые числовые множес­тва и пусть каждому элементу x Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у Y. Тогда будем го­ворить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой перемен­ной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, мно­жество Y — областью значений (изменения) функции.

Кроме буквы f для обозначения функции используются и другие буквы, другими буквами может обозначаться также и независимая переменная. Примеры записи функций: у = у (x), y = F(x), y = g(x).

Если множество Y значений функции ограничено, то функ­ция называется ограниченной, в противном случае — неогра­ниченной.

Способы задания функций