Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 49 )

Решив уравнение dC/dq = 0, получим qопт = = 1265 видеомагнитофонов.

Найдем оптимальные значения поставок, продолжительность поставки, продолжительность цикла:

Ответ. За каждую поставку необходимо доставлять на склад 1265 видеомагнитофонов, оптимальное число поставок составляет 1,6, продолжительность поставки — 115 дней, про­должительность цикла — 230 дней.

УПРАЖНЕНИЯ

33.1. В течение 10 дней наблюдалось следующее изменение запасов:

— первоначальный запас равен нулю, в следующие двое су­ток товары поступали на склад непрерывно и равномер­но по 500 шт. в день, расходования запасов не происхо­дило;

— в следующие четыре дня спрос на имеющиеся в запа­се товары был непрерывным и равномерным и равнялся 250 шт. в день, пополнения запасов не происходило;

— в следующие четыре дня потребность в товарах измени­лась до 200 шт. в день, с целью удовлетворения спроса и пополнения запасов ежедневно на склад доставлялось 300 шт. (поставки на склад и со склада происходили рав­номерно и непрерывно).

Нарисуйте график изменения запасов для 10-дневного перио­да, определите величину запасов на складе к концу периода. Вычислите средний уровень запасов для всего периода.

33.2. Фирме по строительству судов требуется 20000 заклепок в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организа­ционные издержки составляют 0,5 тыс. р. за партию, цена од­ной заклепки — 10 р. Издержки на хранение одной заклепки оценены в 12,5% ее стоимости.

Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальную продолжительность цикла и оптимальное число поставок за год.

33.3. Известно, что издержки выполнения заказа — 2 ден. ед., количество товара, реализованного за год, — 1000 шт., заку­почная цена единицы товара — 5 ден. ед., издержки хранения — 20% от закупочной цены.

Определить наиболее оптимальный размер заказа.

33.4. Система управления запасами некоторого товара подчи­няется основной модели. Каждый год с постоянной интенсив­ностью спрос составляет 15000 ед. товара, издержки на орга­низацию поставки составляют 10 р. на партию, цена единицы товара — 30 р., а издержки на ее хранение — 7,5 р. в год.

Найти оптимальный размер партии, число поставок, продол­жительность цикла.

33.5. Интенсивность равномерного спроса — 2000 ед. това­ра в год. Организационные издержки для одной партии — 20 тыс. р., цена единицы товара — 1 тыс. р., издержки со­держания запаса — 100 р. за единицу товара в год.

Найти оптимальный размер партии, предполагая, что система описывается основной моделью.

33.6. Предприниматель имеет стабильный месячный спрос на товар в количестве 50 ед. Товар он покупает у поставщика по цене 6 ден. ед. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае 10 ден. ед.

Как часто предприниматель должен пополнять свой запас то­варов, если затраты на хранение равны 20% цены товара?

33.7. Фирма вместо оптимального значения партии товара q в основной модели поставок заказала на 50% больше.

На сколько изменятся общие издержки на содержание запасов и организацию поставок по сравнению с оптимальным вариан­том поставок товара?

33.8. Фирма вместо оптимального значения партии товара q в основной модели поставок заказала на 50% меньше.

На сколько изменятся общие издержки на содержание запасов и организацию поставок по сравнению с оптимальным вариан­том поставок товара?

33.9. Известно, что издержки выполнения заказа равны 10 ден. ед., годовой спрос на товар — 1470 т, оптимальный размер партии поставки — 35 т. Определить годовые затраты на выполнение заказа.

33.10. Пользующийся спросом товар продается со средней ско­ростью 45 ед. в день, а производится со скоростью 450 ед. в день. Затраты на организацию и доставку товара составля­ют 5 тыс. р. за партию, издержки хранения запасов равны 20% стоимости товара. Стоимость товара складывается следу­ющим образом: заработная плата обслуживающего персонала составляет 0,4, расходы на материалы — 0,5, накладные рас­ходы — 0,6 (р. за единицу товара, для каждой единицы товара эти значения суммируются).

Найти оптимальный размер партии и минимальные общие за­траты, связанные с образованием запаса (в расчете на единицу товара в течение года).

В году — 300 рабочих дней.

33.11. Интенсивность спроса в модели производственных по­ставок составляет четверть скорости производства, которая равна 20000 ед. товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 р., а издержки хранения единицы то­вара в течение года — 5р.

Определить оптимальный размер партии.

33.12. Система управления запасами описывается моделью производственных запасов. Спрос товара — 1500 шт. в год, цена — 200 р., издержки товара в течение года — 20 р., орга­низационные издержки — 1000 р. В течение года может быть произведено 4500 шт. товара при полной загрузке производст­венной линии.

Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптималь­ный размер партии, продолжительность поставки, продолжи­тельность цикла и средний уровень запасов.

33.13. Фирма, выступающая в качестве посредника, обязуется поставлять заводу по производству двигателей 5 коленчатых валов в день. Руководство фирмы решает доставлять колен­чатые валы на свой склад партиями, причем в каждой содер­жится 150 шт. и они рассчитаны на 30-дневный срок. За один просроченный день в поставке коленчатого вала заводу фирма выплачивает штраф 200 р. Издержки хранения одного коленча­того вала были оценены в 250 р. за неделю, организационными затратами можно пренебречь.

Найти оптимальный уровень запасов и продолжительность со­ответствующего ему периода дефицита. Вычислите уменьше­ние затрат при оптимальной политике управления запасами по сравнению с политикой, когда в начале каждого периода на склад поступает 150 коленчатых валов.

Часть 8. ПРАКТИКУМ

П1. Задания по теме "Математический анализ, функции одной переменной"

1. Найти множества значений x, удовлетворяющих следующим условиям.

2. Найти пределы.

3. Найти области определения функций.

4. Найти пределы.

5. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип.

6. Найти производные функций.

7. Составить уравнения касательных к графикам функций.

8. Найти производные высших порядков от следу­ющих функций.

А) Производные второго порядка

Б) Производные третьего порядка

В) Производные n-го порядка

9. Найти пределы с использованием

А) правила Лопиталя:

Б) разложения по формуле Маклорена:

10. Исследовать и построить графики функций.

11. Найти неопределенные интегралы

а) непосредственным интегрированием:

б) методом подстановки:

в) интегрированием по частям:

12. Решить задачи с определенными интегралами.

1) Вычислить интегралы.

2) Найти площади фигур, ограниченных следующи­ми линиями.

12.29. Фигура ограничена параболой у = x2 + 4x — 3 и каса­тельными к ней в точках а (0, -3), b(3, 0).

12.30. Фигура ограничена параболой у = x2 — 2x + 2, касатель­ной к ней в точке (3, 5) и осью Оу.

3) Найти объемы тел, образованных вращением во­круг оси Оу фигуры, ограниченной следующими лини­ями.

4) Вычислить несобственные интегралы.

П2. Задания по теме "Математический анализ, функции нескольких переменных"

1. Найти области определения следующих функций.

2. Построить линии уровня следующих функций.

3. Найти частные производные от функций.

4. Найти градиенты функций в следующих точках.

5. Найти частные производные второго порядка от функций.

6. Найти экстремумы функций.

П3. Задания по теме "Обыкновенные дифференциальные уравнения"

1. Найти общие решения уравнений первого поряд­ка методом разделения переменных.

2. Найти частные решения уравнений первого по­рядка, удовлетворяющие следующим начальным усло­виям.

3. Найти общие решения линейных уравнений пер­вого порядка.

4. Решить уравнения Бернулли.

5. Найти решения линейных однородных уравнений второго порядка.

6. Решить линейные неоднородные уравнения вто­рого порядка.

7. Найти частные решения линейных уравнений второго порядка, удовлетворяющие указанным началь­ным и краевым условиям.

П4. Задания по теме "Элементы линейной алгебры"

1. Вычислить

где , и — векторы, заданные в таблице.

Найти следующие комбинации этих матриц.

2.1. Матрицу H = 3С - 4F.

2.2. Соответствующие транспонированные матрицы.

2.3. Все возможные произведения матриц, имеющие смысл.

2.4. Матрицу Н = С2 - F2.

2.5. Матрицу Н = G3.

3. Вычислить определители:

4. Определить, являются ли векторы а, b и с ли­нейно независимыми. Варианты задания этих векто­ров указаны в таблице задания 1.

5. Найти ранги матриц, указанных в задании 2.

6. Решить методом Крамера системы линейных уравнений.

7. Решить задачи 6.1-6.6 методом обратной матрицы, вычислив ее методом Гаусса.

8. Решить методом Гаусса системы линейных уравне­ний 6.3-6.6.

9. Решить методом Гаусса системы линейных уравне­ний.

10. Найти фундаментальные системы решений сис­тем однородных уравнений.

11. Найти собственные значения и собственные век­торы матриц.

П5. Задания по теме "Элементы теории вероятностей"

1. Задачи на случайные события

1.1. Два нумизмата обмениваются коллекционными монетами. Найти число способов обмена, если первый нумизмат обмени­вает 5 монет, а второй — 8 монет.

1.2. В ящике находится 12 деталей, среди которых имеются 3 нестандартные. Найти вероятность того, что 3 взятые наугад детали будут стандартными.

1.3. В урне находится 20 шаров: 15 белых и 5 красных. Из урны извлекают один шар, затем, не возвращая его обратно, извлекают второй. Найти вероятность появления красного ша­ра при втором извлечении.

1.4. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера. Найти вероятность того, что при наборе номера наугад он на­берет его правильно не более чем с четырех попыток.

1.5. В лотерее разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных вы­игрышей на каждые 5000 билетов. Найти вероятность выиг­рыша вообще.

1.6. В ящике находится 12 деталей, из которых 3 нестандарт­ные. Из ящика последовательно, одну за другой, берут две де­тали. Найти вероятность того, что обе детали будут стандарт­ными.

1.7. В цеху находятся четыре однотипных станка. Вероятнос­ти исправного состояния этих станков соответственно равны 0,7, 0,9, 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что все станки на­ходятся в эксплуатации.

1.8. На станции «Скорой помощи» дежурят две машины. Веро­ятности технической исправности машин равны соответствен­но 0,95 и 0,75. Найти вероятность исполнения поступившего вызова второй машиной.

1.9. Инвестиционный фонд вкладывает поровну средства в пять предприятий при условии возврата ему каждым пред­приятием через определенный срок 125% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий равна 0,3. Найти вероятность того, что по истечении срока кредита фонд получит обратно не менее вложенной суммы.

1.10. Таможенный досмотр автомашин осуществляют два ин­спектора. В среднем из каждых 100 машин 45 проходит через первого инспектора. Вероятность того, что при досмотре ма­шина, соответствующая таможенным правилам, не будет за­держана, составляет 0,95 у первого инспектора и 0,85 у второ­го. Машина, соответствующая таможенным правилам, не была задержана. Найти вероятность того, что она прошла досмотр у первого инспектора.

1.11. В первой коробке находится 10 шаров, из которых 4 си­них; во второй коробке — 5 шаров, из которых 3 синих. Из первой коробки наугад перекладывают один шар во вторую коробку. Найти вероятность извлечения из второй коробки си­него шара.

1.12. Три орудия произвели залп по цели, и два снаряда пора­зили ее. Найти вероятность поражения цели при залпе вторым орудием, если вероятности поражения цели орудиями равны соответственно 0,5, 0,6 и 0,7.

1.13. Найти вероятность поражения цели при залповой стрель­бе отделением из 5 солдат, если вероятность попадания в цель каждым солдатом составляет 0,5.

1.14. Из урны, содержащей белые и черные шары, извлекают по одному шару 4 раза. Найти вероятность появления белого шара: а) менее трех раз; б) не менее трех раз.

1.15. Вероятность выпуска стандартного изделия равна 0,9. Найти вероятность того, что среди 100 приобретенных изделий будет ровно 80 стандартных.

1.16. Вероятность обращения в банк клиента за возвратом де­позита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребуют возврата депозита.

1.17. Вероятность появления брака в каждом из 2500 изделий равна 0,2. Найти вероятность появления стандартных изделий в количестве: а) не менее 1250; б) не менее 1200 и не более 1250; в) не более 1249. Выпуск каждого изделия полагать не­зависимым событием.

1.18. Вероятность обращения в травматологический пункт для каждого рабочего на стройке составляет 0,3. Найти, среди какого количества строителей следует ожидать обращения в пункт не менее 50 человек.

1.19. Банк выдал кредиты размером 400 тыс. р. каждому из 2000 клиентов на год под 15% годовых. Вероятность невозвра­та кредита каждым из клиентов составляет 0,05. Какой доход гарантирован банку с вероятностью: а) 0,7; б) 0,95 ?

1.20. Вероятность появления события в каждом из 1200 неза­висимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 2% по абсолютной величине.

2. Задачи на случайные величины

2.1. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа стан­дартных деталей среди отобранных.

2.2. Тираж календаря 50 тыс. экземпляров. Вероятность брака в одном календаре равна 0,0003. Найти вероятность содержа­ния в тираже ровно 10 бракованных календарей.

2.3. Случайная составляющая дохода равна 2,5Х, а случайная составляющая затрат равна 40Y. Найти дисперсию прибыли при следующих условиях: случайная величина Х распределе­на по биномиальному закону с параметрами п = 100, р = 0,6; случайная величина Y распределена по закону Пуассона с па­раметром λ = 3; случайные величины Х и Y являются незави­симыми.

2.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:

2.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — числа отказов реле в 10 независимых опытах, если вероятность отказа реле в каждом опыте равна 0,1.

2.6. Дискретная случайная величина Х задана законом рас­пределения:

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и чет­вертого порядков.

2.7. Найти ковариацию и коэффициент корреляции Х и Y для двумерной случайной величины, распределение которой следу­ющее:

2.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = (arcctg x)/π. Найти веро­ятность того, что величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).

2.9. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что Х примет значение: а) менее 1; б) менее четырех; в) не менее четырех; г) не менее семи.

2.10. Дискретная случайная величина дана законом рапределения:

Найти функцию распределения и построить ее график.

2.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

2.12. Случайная величина Х задана на положительной полу­оси Ох функцией распределения F(x) = 1 - е-3x. Найти мате­матическое ожидание величины X.

2.13. Случайная величина Х задана на интервале (0, 2) плот­ностью распределения f(x) = x/8; вне этого интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения и дисперсию величины X.

2.14. Случайная величина Х задана плотностью распределе­ния f(x) = 2e-2x на интервале (0, ). Найти функцию распре­деления, математическое ожидание и дисперсию.

2.15. Случайная величина задана функцией распределения

Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интер­вале (5, 10).

2.17. Сторона квадрата измерена приближенно в интервале (а, b). Найти математическое ожидание и дисперсию площа­ди квадрата, если его сторону рассматривать как случайную величину с равномерным распределением на этом интервале.