Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 5 )

Часто встречаются случаи, когда непосредственно приме­нить теорему о пределе частного нельзя. Это так называемые неопределенности вида или . Далее будет рассмотрен метод раскрытия этих неопределенностей, связанный с диф­ференцированием. Однако зачастую решение связано с более простыми методами: разложением числителя и знаменателя на сомножители, делением числителя и знаменателя на степень x и т. д. Рассмотрим это на примерах.

Пример 1. Найти предел .

Решение. Нетрудно видеть, что непосредственная подста­новка предельного значения x = 2 в дробь под знаком предела приводит к неопределенности вида . Разложим квадратные трехчлены числителя и знаменателя на сомножители и сокра­тим общий сомножитель, после чего уже подставим предельное значение х = 2:

Пример 2. Найти предел .

Решение. В задачах такого типа следует разделить чис­литель и знаменатель на старшую степень x (в данном случае это просто x) и затем применить теорему 3.2 о переходе к пре­делу в числителе и знаменателе с последующим переходом к пределу слагаемых. Имеем

Пример 3. Найти предел .

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на x3 (это старшая степень x), после чего вос­пользуемся теоремой 3.2:

Поясним также раскрытие неопределенности вида — . Рассмотрим характерный случай.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Здесь следует умножить и разделить выраже­ние под знаком предела на сопряженное выражение — в дан­ном случае на (), после чего воспользоваться приемом деления числителя и знаменателя на старшую степень x, в данном случае — на . Имеем

3.4. Два замечательных предела

В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложени­ях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем.

ТЕОРЕМА 4. Предел функции в точке х =0 существу­ет и равен единице, т. е.

Предел (3.7) называется первым замечательным пределом. Этот предел применяется при вычислении ряда других преде­лов. Рассмотрим несколько примеров на применение предела (3.7).

Пример 1. Найти предел функции sin (ax) / bx при х 0.

Решение. Преобразуем данную дробь так, чтобы в знаме­нателе был аргумент синуса; только тогда можно будет при­менить первый замечательный предел, поскольку при х 0 пределом ах также является нуль. Получаем

Пример 2. Найти .

Решение. Теорему 3.2 здесь непосредственно применить нельзя, так как при х 0 знаменатель дроби стремится к нулю. Для решения задачи необходимо сначала преобразовать данную дробь, а затем уже выполнить предельный переход:

Пример 3. Найти .

Решение. Как и в первых двух примерах, преобразуем данную дробь, чтобы "подогнать" ее под первый замечательный предел:

ТЕОРЕМА 5 (второй замечательный предел). Предел функции f(x) = при х существует и равен е, т. е.

Число е является одной из фундаментальных величин в ма­тематике. Показательная функция вида е­­ax называется экспонентой, логарифм с основанием е называется натуральным и обозначается символом ln. В теории вероятностей и статистике функция является основополагающей.

Второй замечательный предел (3.8) широко применяется для вычисления других пределов. Рассмотрим примеры на его применение.

Пример 4. Найти .

Решение. Применим здесь замену переменной, полаем 1/x = у. Тогда у при x 0, т. е. имеем

Пример 5. Найти .

Решение. Заменим переменную, положив x = 2у. При x (а значит, и у ) последовательно получаем

Пример 6. Найти .

Решение. Сначала преобразуем дробь под знаком предела, а затем уже перейдем к пределу:

3.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен нулю: f(x) = 0.

Аналогично определяются бесконечно малые при х , х ±, х а+ и х а—.

ТЕОРЕМА 6. Алгебраическая сумма и произведение конечно­го числа бесконечно малых функций в точке а, как и произве­дение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке а.

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а (или просто бесконечно большой), если для любой сходящейся к а последовательности {хn} значений аргумента соответствующая последовательность {f(xn)} зна­чений функции является бесконечно большой.

В этом случае пишут f(x) = ( f(x) = + или f(x) = -) и говорят, что функция имеет в точке а бесконечный предел (+ или -). По аналогии с конечными односторонними пределами определены и односторонние бесконеч­ные пределы:

Аналогично определяются бесконечно большие функции при x, x+, x-.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функ­циями существует та же связь, что и между соответствующи­ми последовательностями, т. е. если α(х) — бесконечно малая функция при х а, то f(x) = 1/α(х) — бесконечно большая функция, и наоборот.

3.6. Понятие непрерывности функции

Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

Так как x = а, то это равенство можно переписать в следующей форме:

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной спра­ва (слева) в точке а, если правый (левый) предел этой функции в точке а равен значению функции в этой точке.

Символическая запись непрерывности функции справа (слева):

Если функция f(x) непрерывна в точке а слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Точки, в которых функция не является непрерывной, назы­ваются точками разрыва функции.

Рассмотрим пример точек, в которых функция не является непрерывной.

Пример 1. Функция f(x) = sign x (п. 3.1). Как было показано ранее, в точке х = 0 существуют левый и правый пределы этой функции, равные соответственно —1 и +1. Сама же точка х = 0 является точкой разрыва функции, поскольку пределы слева и справа не равны значению f(0) = 0.

Действия над непрерывными в точке функциями определя­ет следующая фундаментальная теорема.

ТЕОРЕМА 7. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в точке а (частное при условии g(a) ≠ 0).

3.7. Непрерывность элементарных функций

Непрерывность элементарных функций в точке

Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в лю­бой точке числовой прямой. Действительно, f(x) = С = f(а), что соответствует определению непрерывности функ­ции в точке.

Функция f(x) = х непрерывна в каждой точке а числовой прямой, так как предел функции в точке а равен ее значению в этой точке: f(x) = а = f(a).

Из сказанного выше и теоремы 3.7 следует, что в любой точке числовой прямой функции x2 = x ∙ x, x3 = x2 ∙ х,..., xn = xn-1 ∙ x (n — натуральное число) непрерывны.

Алгебраический многочлен

также является непрерывной функцией в любой точке число­вой прямой в силу теоремы 3.7, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций.

Дробно-рациональная функция

где Р(x) и Q(x) — алгебраические многочлены, в силу теоремы 3.7 непрерывна во всех точках числовой прямой за исключени­ем корней знаменателя.

Тригонометрические функции sin x, и cos x непрерывны в любой точке x числовой прямой.

Непрерывность функций tg x = sin x / cos x и sec x = 1/ cos x соблюдается во всех точках, x ≠ π / 2 + nπ; аналогично непре­рывность функций ctg x = cos x / sin x и sec x = 1 / sin x обеспе­чена во всех точках x ≠ пπ (n = 0, ±1, ±2,...).

Рассмотренные выше функции непрерывны в каждой точ­ке, в окрестности которой они определены. В силу теоремы 3.7 функции, получаемые из них при использовании конечного чис­ла арифметических операций, являются также непрерывными.

Непрерывность функции на интервале и отрезке

Говорят, что функция f(x) непрерывна на интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функ­ция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], если она непрерывна на интервале (а, b) и непрерывна в точке a справа, а в точке b слева:

Классификация точек разрыва функции

Точки разрыва, в которых функция не является непрерыв­ной, классифицируются следующим образом.

1. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция f(x) либо не опре­делена, либо ее значение f(а) не равно пределу в этой точке.

Пример 1. Функция f(x) = в точке х = 0, как известно, имеет предел, равный единице (первый замечательный пре­дел). Однако в самой точке х = 0 эта функция не определе­на, т. е. здесь разрыв первого вида. Этот разрыв можно устра­нить (потому он и называется устранимым), если доопреде­лить функцию в этой точке значением предела в ней, т. е. ввес­ти новую функцию

Функция f1(x) является непрерывной на всей числовой прямой.

2. Разрыв первого рода. Точка а называется точкой раз­рыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пре­делы:

.

Пример 2. Рассмотрим функцию

для нее точка х = 0 является точкой разрыва 1-го рода.