Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 30 )

Это следует из характера функции распределения: она являет­ся неубывающей, и, значит, ее производная неотрицательна.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности рас­пределения в пределах интегрирования по всей числовой оси равен единице:

Это равенство означает достоверность события, что случай­ная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (-,), т. е. вероятность этого события Р(- < Х < ) = 1.

Так, если все возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала (а, b), то

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Определения числовых характеристик дискретных случай­ных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах (18.5) и (18.10) берутся их интегральные аналоги.

Определение 4. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой находят­ся на отрезке [а, b], называется определенный интеграл:

В том случае, когда возможные значения случайной вели­чины Х заполняют всю ось Ох, пределы интегрирования а и b бесконечны: а = -, b = . Возможны также случаи, ког­да один из пределов интегрирования бесконечен (возможные значения Х лежат на полупрямой).

Определение 5. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Все сказанное выше о случаях бесконечных пределов интегрирования остается справедливым и для дисперсии.

Среднее квадратичекое отклоенние непрерывной случайной величины определяется, как и прежде, по формуле (18.15):

σ(Х) = .

Для вычисления дисперсии употребляется более удобная фор­мула, которая выводится из (18.37):

Пример 4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной плотностью распределения на отрезке [0, 1]:

Решение. Согласно формулам (18.36), (18.38) и (18.15) по­следовательно вычисляем искомые величины:

Пример 5. Найти основные числовые характеристики непре­рывной случайной величины X, заданной функцией распреде­ления на положительной полуоси Ох:

Решение. Найдем сначала плотность распределения:

Затем, как и в предыдущем примере, вычисляем соответствуцющие интегралы; при их вычислении применяем правило интегрирования по частям для определенного интеграла. В итоге получаем искомые величины:

18.5. Основные распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Определение 1. Распределение вероятностей называется рав­номерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.

Пусть на интервале (a, b) плотность распределения являет­ся постоянной величиной: f(x) = С. Определим значение С из условия (18.35):

откуда получаем, что f(x) = С = 1/(b - а). Значит, искомая плотность равномерного распределения дается формулой

График плотности равномерного распределения указан на рис. 18.5.

Пример 1. Найти среднеквадратическое отклонение случай­ной величины X, распределенной равномерно на интерва­ле (1, 5).

Решение. Согласно формуле (18.39), плотность распреде­ления указанной случайной величины является ненулевой и равна 0,25 на интервале (1, 5). По формулам (18.36) и (18.38) последовательно вычисляем:

Пример 2. Радиус круга измерен приближенно на интервале (а, b). Полагая, что радиус является случайной величиной X, распределенной равномерно в этом интервале, найти матема­тическое ожидание и дисперсию площади круга.

Решение. Площадь круга также является случайной ве­личиной, вычисляемой по формуле Y = πX2; она имеет то же равномерное распределение, что и случайная величина X. По формулам (18.36) и (18.38) получаем

Нормальное распределение

Определение 2. Общим нормальным распределением вероят­ностей непрерывной случайной величины Х называется рас­пределение с плотностью

Нормальное распределение задается двумя параметрами: а и σ. Согласно определениям математического ожидания и дисперсии (формулы (18.36) и (18.38)), после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нор­мального распределения справедливы формулы

Определение 3. Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1 называется нормированным; его плотность равна

Рассмотрим функцию нормального распределения как пер­вообразную плотности распределения вероятностей. Для слу­чая нормированного нормального распределения (18.41) она, согласно формуле (18.34), имеет вид

Поскольку функция (18.41) является четной, то неопределен­ный интеграл от нее является нечетной функцией, и потому вместо функции распределения (18.42) используется функция Лапласа (см. п. 17.5)

Функции (18.41) и (18.43) табулированы (см. Приложение).

График плотности нормального распределения (18.40) для разных значений а показан на рис. 18.6.

Определение 4. Модой Мо(Х) называется возможное значе­ние случайной величины X, при котором плотность распреде­ления имеет максимум.

Определение 5. Медианой Ме(Х) называется такое возмож­ное значение случайной величины X, что вертикальная пря­мая х = Me(X) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.

Нетрудно видеть, что график плотности нормального рас­пределения симметричен относительно прямой х = а, и потому и мода и медиана в данном случае совпадают с математичес­ким ожиданием:

Пусть случайная величина Х задана плотностью нормаль­ного распределения (18.40), тогда вероятность того, что Х при­мет значение на интервале (α, β), согласно формуле (18.33), равна

Преобразование этой формулы путем введения новой перемен­ной интегрирования z = (х - а)/σ приводит к удобной вычис­лительной формуле:

где Ф — функция Лапласа, определенная по формуле (18.43).

Пример 3. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 10 и 5. Найти ве­роятность того, что Х примет значение на интервале (20, 30).

Решение. Воспользуемся формулой (18.44). По условию а = 10, σ = 5, α = 20 и β = 30. Следовательно,

По табл. 2 Приложения находим соответствующие значения функции Лапласа и окончательно получаем

Пример 4. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Опре­делить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).

Решение. По условию задачи а = 48, σ = 2, α = 49, β = 51. Используя формулу (18.44), получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна

Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

Асимметрия и эксцесс

В прикладных задачах, например в математической ста­тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре­делений, отличающихся от нормального распределения, воз­никает необходимость количественных оценок этих различий. Для этой цели введены специальные безразмерные характеристики.

Определение 6. Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего поряд­ка к кубу среднего квадратического отклонения:

Определение 7. Эксцессом теоретического распределения на­зывается величина, определяемая равенством

где μ4 — центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения As = Еk = 0. При отклоне­нии от нормального распределения асимметрия положительна, если "длинная" и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствую­щей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна (рис. 18.7, а, б).

Эксцесс характеризует "крутизну" подъема кривой распре­деления по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс поло­жителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину (рис. 18.7, в).

Следует иметь в виду, что при использовании указанных характеристик сравнения опорными являются предположения об одинаковых величинах математического ожидания и дис­персии для нормального и теоретического распределений.

Пример 5. Пусть дискретная случайная величина Х задана законом следующего распределения:

Найти асимметрию и эксцесс теоретического распределения.

Решение. Найдем сначала математическое ожидание слу­чайной величины:

Затем вычисляем начальные и центральные моменты 2, 3 и 4-го порядков и среднее квадратическое отклонение (см. фор­мулы (18.27)-(18.31)):

Теперь по формулам (18.45) и (18.46) находим искомые вели­чины:

В данном случае "длинная" часть кривой распределения рас­положена справа от моды, причем сама кривая является не­сколько более островершинной, чем нормальная кривая с теми же величинами математического ожидания и дисперсии.

18.6. Некоторые элементы математической статистики

Задачи математической статистики

Первой задачей математической статистики является ука­зание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача — это разработка методов анализа статис­тических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зави­симости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах пара­метров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из этих вопросов.

Выборки

На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К то­му же если эта совокупность содержит большое число объек­тов или исследование объекта требует нарушения его функцио­нального стандарта, то сплошное исследование нереально. В таких случаях из всей совокупности случайно отбирают огра­ниченное число объектов и подвергают их исследованию.

Введем основные понятия, связанные с выборками. Гене­ральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупнос­тью (выборкой) называется совокупность случайно отобран­ных объектов из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N = 2000, а объем выборки п = 100.

Выборку можно осуществлять двумя способами. Если пос­ле исследования объект из выборки возвращается в генераль­ную совокупность, то такая выборка называется повторной; если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

Выборка называется репрезентативной (представитель­ной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности.

Способы отбора

Различают два способа отбора: без расчленения генераль­ной совокупности на части и с расчленением. К первому отно­сятся простые случайные отборы (либо повторный, либо бес­повторный), когда объекты извлекают по одному из всей гене­ральной совокупности; такой отбор можно производить с ис­пользованием таблицы случайных чисел.

Второй способ отбора включает в себя следующие разно­видности, соответствующие способам расчленения генераль­ной совокупности. Отбор, при котором объекты отбираются из каждой "типической" части генеральной совокупности, на­зывается типическим. Например, отбор деталей из продукции каждого станка, а не из их общего количества является типи­ческим. Если генеральную совокупность делят на число групп, равное объему выборки, с последующим отбором из каждой группы по одному объекту, то такой отбор называется меха­ническим. Серийным называется отбор, при котором объекты отбираются не по одному, а сериями; этот способ используется, когда исследуемый признак имеет незначительные колебания в различных сериях.

На практике часто употребляется комбинирование указан­ных выше способов отбора. Например, генеральную совокуп­ность разбивают на серии одинакового объема, затем случай­ным образом отбирают несколько серий и в завершение слу­чайным извлечением отдельных объектов составляют выбор­ку. Конкретная комбинация способов отбора объектов из гене­ральной совокупности определяется требованием репрезента­тивности выборки.

Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объ­ема п, в которой значение x1 некоторого исследуемого призна­ка Х наблюдалось п1 раз, значение x2 — п2 раз, ..., значение xk — nk раз. Значения xi называются вариантами, а их после­довательность, записанная в возрастающем порядке,— вариационным рядом. Числа ni называются частотами, а их отно­шения к объему выборки

— относительными частотами. При этом ni = п. Модой Мo называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Ме­дианой те называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т. е. k = 2l + 1, то me = xl+1; если же число вариант четно (k = 2l), то те = (xl + xl+1)/2. Разма­хом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки:

Перечень вариант и соответствующих им частот называ­ется статистическим распределением выборки. Здесь имеет­ся аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностей — это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — это соответствие между наблюда­емыми вариантами и их частотами (относительными частота­ми). Нетрудно видеть, что сумма относительных частот равна единице: Wi = 1.

Пример 2. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот и основные харак­теристики вариационного ряда.

Решение. Найдем объем выборки: п = 2 + 4 + 5 + 6 + 3 = 20. Относительные частоты соответственно равны W1 = 2/20 = 0,1; W2 = 4/20 = 0,2; W3 = 5/20 = 0,25; W4 = 6/20 = 0,3; W5 = 3/20 = 0,15. Контроль: 0,1 + 0,2 + 0,25 + 0,3 + 0,15 = 1. Искомое распределение относительных частот имеет вид

Мода этого вариационного ряда равна 12. Число вариант в дан­ном случае нечетно: k = 2 ∙ 2 + 1, поэтому медиана me = x3 = 8. Размах варьирования, согласно формуле (18.48), R = 17 – 4 = 13.

Эмпирическая функция распределения

Пусть nх — число наблюдений, при которых значение при­знака Х меньше х. При объеме выборки, равном п, относитель­ная частота события Х < х равна nx/n.

Определение 8. Функция

определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х < х, называется эмпирической функцией распреде­ления, или функцией распределения выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения F*(x) выборки функция распределения F(x) генеральной совокупнос­ти называется теоретической функцией распределения. Раз­личие между ними состоит в том, что функция F(x) опреде­ляет вероятность события Х < х, a F*(x) — относительную частоту этого события. Из теоретических результатов общей теории вероятностей (закон больших чисел) следует, что при больших п вероятность отличия этих функций друг от друга близка к единице:

Нетрудно видеть, что F*(x) обладает всеми свойствами F(x), что вытекает из ее определения (18.49):

1) значения F*(x) принадлежат отрезку [0, 1];

2) F*(x) является неубывающей функцией;

3) если х1 — наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х ≤ х1; если xk — максимальная варианта, то F*(x) = 1 при x > xk.

Сама же функция F*(x) служит для оценки теоретической функции распределения F(x) генеральной совокупности.