Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 15 )

Определение 2. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется плоская кривая, получаемая при пе­ресечении графика этой функции плоскостью z = С, где С — постоянная величина, параллельной координатной плоскости Оху.

Обычно линии уровня, соответствующие различным зна­чениям постоянной величины С, проецируются на одну плос­кость, например на координатную плоскость Оху; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией z = f(x, у).

Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции z = f(x, у) — это семейство кривых на координатной плоскос­ти Оху, описываемое уравнениями вида

Обычно берут арифметическую прогрессию чисел Ci с по­стоянной разностью h; тогда по взаимному расположению ли­ний уровня можно получить представление о форме поверхнос­ти, описываемой функцией z = f(x, у). Там, где функция изме­няется быстрее, линии уровня сгущаются, а там, где поверх­ность пологая, линии уровня располагаются реже (рис. 8.4).

Пример 3. Найти линии уровня функции z = х2 + у2 — 2х — 2у.

Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, описываемое уравнением

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с цент­ром в точке O1(l, 1) радиуса r =. Поверхность враще­ния (параболоид), описываемая данной функцией, становится "круче" по мере ее удаления от оси, которая дается уравнени­ями x = 1, у = 1.

8.3. Частные производные функции нескольких переменных

Частные производные первого порядка

Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x, у) евклидова пространства Е2. Частная производная функции z = f(x, у) по аргументу x является обыкновенной производной функции одной перемен­ной х при фиксированном значении переменной у и обознача­ется как

Аналогичным образом определяется частная производная функции f(x, у) по переменной у в точке М, обозначаемая как

Функция, имеющая частные производные, называется диффе­ренцируемой.

Совершенно аналогично определяются частные производ­ные функций трех и более переменных. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данной координате при фиксированных значени­ях других координат.

Найти частные производные следующих функций.

Решение. Дифференцируем функцию z = f(x, y) сначала по х, полагая у фиксированной величиной, потом повторяем эту же процедуру, меняя роли x и у. Получаем

Ррешение. Частные производные этой функции трех пере­менных выражаются следующими формулами:

Пример 4. Найти предельные показатели продукции Q при изменении одного из факторов: затрат капитала К или вели­чины трудовых ресурсов L — по функции Кобба—Дугласа

Решение. Частные производные этой функции

дают решение сформулированной выше задачи. Очевидно, что в функции Кобба—Дугласа показатели степеней α и l — α пред­ставляют собой соответственно коэффициенты эластичности EK(Q) и EL(Q) по каждому из входящих в нее аргументов.

Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных и = f(x, у, z), диф­ференцируемую в некоторой точке M(x, y, z).

Определение 1. Градиентом функции и = f(x, у, z) называ­ется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным в точке М.

Для обозначения градиента функции используется символ

Аналогично в случае функции двух переменных и = f(x, у) имеем

Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

Для определения геометрического смысла градиента функ­ции введем понятие поверхности уровня. Это понятие анало­гично понятию линии уровня, рассмотренному в п. 8.2.

Определение 2. Поверхностью уровня функции и = f(x, у, z) называется поверхность, на которой эта функция сохраняет по­стоянное значение

В курсе математического анализа доказывается, что градиент в данной точке ортогонален к этой поверхности.

В случае функции двух переменных все сказанное выше остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фи­гурировать линия уровня. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 5. Найти градиент и его модуль функции z = в точке М (0, 1).

Решение. По формуле (8.8) имеем для функции двух пе­ременных

При х = 0 и у = 1 получаем

Пример 6. Найти градиент и его модуль функции и = x2 + у2 - z2 в точке М (1, 1, -2).

Решение. По формуле (8.7) имеем

Подставляя в это выражение координаты точки М, полу­чаем

Пример 7. Найти поверхности уровня функции u = х2 — 2х + у2 + 2у — z.

Решение. Согласно определению поверхности уровня (8.9) имеем

где С = с + 2. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются параболоиды вращения с осью х = 1, у = -1, параллельной оси Oz, вершины которых лежат в точках с ко­ординатами (1, -1, -С).

Частные производные высших порядков

Частные производные первого порядка от функции двух и более переменных также представляют собой функции не­скольких переменных, и их можно также продифференциро­вать, т. е. найти частные производные от этих функций. Так, для функции двух переменных вида z = f(x, у) возможны че­тыре вида частных производных второго порядка:

Частные производные, в которых дифференцирование произво­дится по разным переменным, называются смешанными произ­водными. Аналогичным образом для функций нескольких пе­ременных определяются частные производные более высоких порядков.

Рассмотрим два примера нахождения частных производ­ных второго порядка для функции двух переменных.

Решение. Последовательно дифференцируя, получаем

Решение. По правилам дифференцирования произведения имеем

В рассмотренных примерах смешанные производные оказа­лись равными друг другу, хотя это бывает и не всегда. Ответ на вопрос о независимости смешанных вторых производных от порядка дифференцирования функции двух переменных дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если функция z = f(x, у) дважды дифферен­цируема в точке М0(x­0, y0), тo ее смешанные производные в этой точке равны.

8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение и необходимые условия существования локального экстремума

Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М0 (x0, у0) — некоторая точка этого множества.

Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М0 локаль­ный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M0, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M0) (f(М) ≥ f(М0)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции z = f(M) — f(М0) удовлетворяет одному из условий в окрест­ности точки M0:

Δz ≤ 0, если M0 — точка локального максимума;

Δz ≥ 0, если M0 — точка локального минимума.

Теперь установим необходимые условия существования ло­кального экстремума.

ТЕОРЕМА 2. Если функция z = f(x, у) имеет в точке M0 (x0, y0) локальный экстремум и частные производные пер­вого порядка, то все эти частные производные равны нулю:

Для случая функции двух и более переменных необходи­мое условие существования локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.10); все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке M0.

Следует особо отметить, что условия (8.10) не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции z = х2 — у2 частные производные равны нулю в точке O(0, 0), однако в этой точке функция (которая является уравнением ги­перболического параболоида) не имеет экстремума: f(0, 0) = 0, но в любой окрестности точки О есть значения функции как положительные, так и отрицательные.

Точки, в которых выполняются условия (8.10), называются точками возможного экстремума, или стационарными точ­ками.

Рассмотрим задачи на отыскание возможного экстремума функций.

Ррешение. Согласно условиям (8.10) имеем = 0 и = 0, откуда получаем систему двух алгебраических урав­нений с двумя неизвестными

Решение этой системы х = 1, у = 2, т. е. точка с координа­тами (1, 2) является стационарной для данной функции двух переменных.

Решение. По условию (8.10) все три первые частные про­изводные функции равны в этой точке нулю, откуда получаем систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя не­известными

Решение этой системы дает единственную стационарную точ­ку возможного экстремума: (3, -4, 2).

Достаточные условия существования локального экстремума

Рассмотрим случай функции двух переменных z = f(x, y), часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные этой функции , , в некоторой точке M0 через а11, a12, a22 соответственно. Тогда достаточное усло­вие локального экстремума формулируется следующим обра­зом.

ТЕОРЕМА 3. Пусть в точке М0(х0, у0) возможного экстре­мума функции и = f(x, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда если

то функция и = f(x, y) имеет в точке М0 локальный экстре­мум: минимум при а11 < 0 и максимум при а11 > 0. Если же а11а22 — a122 ≤ 0, то данная функция не имеет локального эк­стремума в точке M0.

Пример 3. Найти точки локального экстремума и значения в них функции z = х3 — у3 — 3ху.

Решение. Сначала находим стационарную точку из условий = = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

решения которой дают координаты двух точек (0, 0) и (-1, 1). Найдем вторые производные:

откуда получаем Δ = а11a22 — а122 = -36xу — 9. В точке (0, 0) имеем Δ < 0, и, значит, в ней нет локального экстремума. В точке (-1, 1) получаем Δ = 27 > 0, т. е. в этой точке данная функция имеет локальный экстремум; поскольку а11 < 0, то это точка максимума. Значение функции в ней: umax = f(-1, 1) = 1.

8.5. Применение в задачах экономики

Экстремум функции нескольких переменных

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике.

Прибыль от производства разных видов товара

Пусть x1, x2, …, xт. — количества производимых т разно­видностей товара, а их цены — соответственно P1, P2, …, Pm (все Pi — постоянные величины). Пусть затраты на производ­ство этих товаров задаются функцией издержек

Тогда функция прибыли имеет вид

Максимум прибыли естественно искать как условие локально­го экстремума функции многих переменных (8.11) при xi ≥ 0 (при отсутствии других ограничений)