Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 29 )

Определение 1. Законом распределения двумерной случай­ной величины (X, Y) называют множество возможных пар чи­сел (xi, yj) и их вероятностей p(xi, yj). Двумерную случайную величину можно трактовать как случайную точку А(Х, Y) на координатной плоскости.

Закон распределения двумерной случайной величины обыч­но задается в виде таблицы, в строках которой указаны воз­можные значения xi случайной величины X, а в столбцах — возможные значения yj случайной величины Y, на пересече­ниях строк и столбцов указаны соответствующие вероятности pij. Пусть случайная величина Х может принимать п значе­ний, а случайная величина Y - т значений. Тогда закон рас­пределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

Из этой таблицы можно найти законы распределения каждой из случайных компонент. Например, вероятность того, что слу­чайная величина Х примет значение хk, равна, согласно тео­реме сложения вероятностей независимых событий,

Иными словами, для нахождения вероятности Р(хk) нужно просуммировать все т вероятностей по k-му столб­цу таблицы (18.21). Аналогично получается вероятность то­го, что случайная величина Y примет возможное значение уr: Р(уr) получается суммированием всех n вероятностей r-й стро­ки таблицы (18.21) (r = 1, 2, ... ,m). Отсюда следует, что сумма всех вероятностей в законе распределения (18.21) равна единице:

Пример 1. Задано распределение двумерной случайной вели­чины:

Найти распределения Х, Y и Х + Y.

Решение. В нашем случае возможные значения случайной величины X: х1 = 1, х2 = 2, x3 = 3. Тогда, согласно формуле (18.22), имеем P(x1) = 0,1 + 0,2 = 0,3, P(x2) = 0,15 + 0,22 = 0,37, Р(x3) = 0,12 + 0,21 = 0,33. Отсюда получаем закон распреде­ления X:

Аналогично получаем и для распределения Y: у1 = 1, y2 = 2; P(y1) = 0,1 + 0,15 + 0,12 = 0,37, P(y2) = 0,2 + 0,22 + 0,21 = 0,63;

Теперь найдем распределение X+Y. Возможные значения этой случайной величины: 2, 3, 4 и 5. Соответствующие вероятнос­ти Р(2) = 0,1, Р(3) = 0,15 + 0,2 = 0,35, Р(4) = 0,12 + 0,22 = 0,34, Р(5) = 0,21. Отсюда находим искомое распределение:

В случае системы двух случайных величин используются кроме математических ожиданий и дисперсий еще и другие числовые характеристики, описывающие их взаимосвязь.

Корреляционный момент

Определение 2. Корреляционным моментом случайных ве­личин Х и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:

Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами Х и Y. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что μxy можно записать в следующем виде:

Для непосредственного вычисления корреляционного момен­та (ковариации) используется формула (см. распределение (18.21))

ТЕОРЕМА 3. Корреляционный момент двух независимых слу­чайных величин Х и Y равен нулю.

Если корреляционный момент μxу не равен нулю, то, стало быть, величины Х и Y являются зависимыми.

Коэффициент корреляции

Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин Х и Y; например, если Х и Y измерены в сантиметрах, то μxy имеет размерность см2.

Это обстоятельство затрудняет сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин. Для устране­ния этого недостатка вводят безразмерную числовую характе­ристику — коэффициент корреляции, величина которого не зависит от выбора системы измерения случайных величин.

Определение 3. Коэффициентом корреляции случайных ве­личин Х и Y называется отношение их корреляционного мо­мента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Из определения и свойств математического ожидания и дис­персии следует важный вывод, что абсолютная величина коэф­фициента корреляции не превосходит единицы:

Определение 4. Две случайные величины Х и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффи­циент корреляции) отличен от нуля; если же их корреляцион­ный момент равен нулю, то Х и Y называются некоррелированными.

Таким образом, две коррелированные случайные величины (т. е. при rxy ≠ 0) являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно, т. е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Пример 2. Найти корреляционный момент и коэффициент корреляции двух случайных величин Х и Y, распределения которых заданы в предыдущем примере 1.

Решение. Воспользуемся формулами (18.24), (18.26), а также формулой вычисления центрального момента второго порядка (18.19); последовательно вычисляем: М(Х) = 2,03, М(Y) = 1,63, D(X) = 0,629, D(Y) = 0,233,

В данном случае коэффициент корреляции близок к нулю; это означает, что случайные величины Х и Y слабокоррелированы.

Линейная регрессия

Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Х и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возмож­ным приближенное представление величины Y в виде линей­ной функции величины X:

где а и b — параметры, подлежащие определению. Обычно эти величины определяются с помощью метода наименьших квад­ратов (см. п. 8.5).

Определение 5. Функция (18.27) называется наилучшим при­ближением в смысле метода наименьших квадратов, если ма­тематическое ожидание M[Y — g(Х)]2 принимает наименьшее возможное значение. Функцию g(х) называют среднеквадратической регрессией Y на X.

ТЕОРЕМА 4. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид

где rxy определяется формулой (18.25), ту = M(Y) и mx = М(Х) — математические ожидания соответственно случайных величин Y и X.

Коэффициент b = rxуσу / σx называют коэффициентом ре­грессии Y на Х, а прямую

реализующую линейную зависимость (18.28) случайной вели­чины Y от случайной величины X, называют прямой среднеквадратической регрессии Х на Y. Поскольку зависимость (18.28) является приближенной, то существует погрешность этого приближения, называемая остаточной дисперсией:

Аналогичную форму записи имеет прямая среднеквадратическая регрессия Х на Y:

Пример 3. Найти линейную среднюю квадратическую регрес­сию и остаточную дисперсию случайной величины Y на слу­чайную величину Х по данным примеров 1 и 2.

Решение. Для двумерной случайной величины (X, Y), приведенной в примере 1, все необходимые числовые характе­ристики указаны в решении примера 2: mx = 2,03, ту = 1,63, rху = -0,023, σx = = 0,793, σy = = 0,483. Из уравнения (18.28) получаем искомое соотношение:

Остаточная дисперсия рассчитывается по формуле (18.29):

Для оценки среднеквадратичной погрешности линейной ре­грессии обычно используют величину ε, в нашем случае она составляет

18.4. Непрерывные случайные величины

Функция распределения и ее свойства

Пусть Х — непрерывная случайная величина (см. опреде­ление 3 п. 18.1), значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя составить перечень всех возможных значений X, как это было сделано в случае дискретной случай­ной величины. Тем не менее существует способ задания любых видов случайных величин. Пусть х — действительное число. Обозначим вероятность события того, что Х примет значение, меньшее x, через F(x).

Определение 1. Функцией распределения случайной величи­ны Х называется функция F(x), определяющая вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

Геометрический смысл приведенного определения: F(x) — это вероятность того, что случайная величина Х примет зна­чение, изображаемое точкой на числовой оси левее точки х. По виду функции F(x) определяется и вид случайной величины. Уточним понятие непрерывной случайной величины.

Определение 2. Случайная величина называется непрерыв­ной, если ее функция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Таким образом, дискретную случайную величину можно считать кусочно-непрерывной.

Функция распределения обладает рядом фундаментальных свойств, указанных ниже.

Свойство 1. Область значений функции распределения ле­жит на отрезке [0,1]:

Свойство 2. Функция распределения является неубываю­щей, т. е.

Свойство 3. Если возможные значения случайной вели­чины находятся на интервале (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b.

Из указанных свойств вытекают важные следствия.

1. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, заключенные внутри интервала (α, β), равна разнос­ти значений функции распределения на концах этого интервала:

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения непрерывной случайной вели­чины Х расположены на всей числовой оси, то

График функции распределения непрерывной случайной ве­личины показан на рис. 18.2.

Пример 1. Найти функцию распределения процентного изме­нения стоимости акций по данным примера 3 п. 18.1 и постро­ить ее график.

Решение. Перепишем таблицу распределения дискретной случайной величины в порядке возрастания ее возможных зна­чений:

Если х ≤ 5, то F(x) = 0. Если 5 < х ≤ 10, то F(x) = 0,1. На интервале 10 < х ≤ 15 применяем теорему сложения вероят­ностей, так как события Х < 10 и 10 < Х ≤ 15 несовместны: F(x) = 0,1 + 0,1 = 0,2. Аналогично определяются значения F(x) на других интервалах: при 15 < х ≤ 20 F(x) = 0,4; при 20 < х ≤ 25 F(x) = 0,7; при 25 < х ≤ 30 F(x) = 0,9; при х > 30 имеем достоверное событие (все случаи изменения сто­имости акций исчерпаны), т. е. F(x) = 1. Таким образом, иско­мая функция распределения имеет следующую аналитическую форму записи:

График этой функции распределения показан на рис. 18.3.

Плотность распределения вероятностей и ее свойства

Определение 3. Производная от функции распределения не­прерывной случайной величины Х называется плотностью рас­пределения вероятностей X:

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или не­определенным интегралом от нее. Плотность распределения — это "скорость" изменения вероятности Р(Х < х). Из свойства 2 функции распределения следует справедливость следующей фундаментальной теоремы.

ТЕОРЕМА 5. Вероятность того, что непрерывная случай­ная величина Х примет значение на интервале [α, β), опре­деляется по формуле

Вспоминая геометрический смысл определенного интеграла (см. п. 7.5), можно сказать, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, при­надлежащее интервалу (α, β), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой плотности распределе­ния f(x), снизу — осью Ох, а с краев — вертикальными пря­мыми х = α и х = β (рис. 18.4).

Связь между функцией распределения и плотностью рас­пределения вероятностей устанавливается, согласно (18.32), формулой

Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распре­деления

Найти плотность распределения X.

Решение. Функция F(x) является кусочно-дифференциру­емой. Согласно формуле (18.32), дифференцируя F(x) по ин­тервалам ее задания, получаем

Пример 3. Непрерывная случайная величина Х задана плот­ностью распределения на всей числовой оси:

Найти вероятность того, что Х примет значение на интервале (-1, 1).

Решение. Согласно формуле (18.33), искомая вероятность равна

Плотность распределения обладает рядом свойств, основ­ные из них указаны ниже.

Свойство 1. Плотность распределения является неотри­цательной функцией: