Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 8 )

В теореме 4.3 рассмотрена суперпозиция двух функций, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость с двумя и более промежуточны­ми переменными, однако правило дифференцирования сложной функции остается тем же. Например, если у = у(х), х = φ(и), и = ψ(t), то производная y'(t) вычисляется по формуле

Рассмотрим несколько примеров на дифференцирование сложной функции.

Пример 1. Найти производную функции у = tg (x3).

Решение. Эту функцию можно представить через проме­жуточную переменную и как y = tg u, и = х3. Тогда по фор­муле (4.7) имеем

Пример 2. Найти производную функции у = .

Решение. Здесь функция представляется с помощью трех промежуточных переменных: у = еu, и = v2, v = tg w, w = 4x. Применяя правило (4.7) дифференцирования сложной функ­ции, последовательно получаем

Пример 3. Найти угол наклона к оси Оx касательной к гра­фику функции

Решение. Данная функция является суммой двух сложных функций, представляемых через промежуточные переменные как

Применяя правила дифференцирования суммы функций и сложных функций, получаем

Поскольку тангенс угла наклона касательной к оси Ох при х = 0 равен значению производной в этой точке, из последнего равенства получаем, подставляя в него х = 0:

откуда φ = arctg 1 = 45°.

4.6. Понятие производной n-го порядка

Производная f'(x) функции f(x) сама является функцией аргумента х, и по отношению к ней также можно ставить во­прос о производной. Производная от первой производной некоторой функции у = f(x) называется второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производ­ная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно про­должить. Производные начиная со второй называются произ­водными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у", у'", у(4), у(5), ..., у(n) (для второй и третьей производных соответственно еще и у(2) и у(3)) или вместо у пишут f(x): f"(x), f"(х), ..., f(n)(x).

Производная n-го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (n — 1)-го порядка: y(n) = (y(n-1))'

Рассмотрим несколько примеров на вычисление производ­ных высших порядков.

Пример 1. Найти производную второго порядка от функции у = х3 + 2х.

Решение. Последовательно находим первую производную, а затем и производную от нее:

Пример 2. Найти производную второго порядка от функции .

Решение. Сначала находим первую производную сложной функции:

Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение функций:

Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции у = х In х.

Решение. Последовательно находим

Пример 4. Найти производную n-го порядка от функции y = e2x.

Решение: Находим

т. е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функ­ции сомножиОтсюда получаем

В заключение укажем формулы для вычисления производ­ных n-го порядка для функций sin х и cos х. Нетрудно убедить­ся, что

УПРАЖНЕНИЯ

Найти производные следующих функций.

4.1. у = x3 + 3x2 – 2x + 1. 4.2. у = 5x7 + 3x3 – 4x - 1. 4.3. у = + .

4.4. y = 4.5. y =

4.6. у = 3x5 + 2 sin x + 5 tg x. 4.7. у = 4.8. у = log2 х — 3 log3 x. 4.9. у = 3ex + arctg х — arcsin x.

4.10. y = 5x + 6x + . 4.11. у = x2 tg x. 4.12. у=

4.13. у = + x arccos x. 4.14. у = х2 log3 х - ex tg x.

4.15. у =. 4.16. у = + x tg x. 4.17. y = .

4.18. y = . 4.19. y = . 4.20. y =.

4.21. y = x2 - , нaйти f'(2) - f(-2)

4.22. у = x ln x, найти f'(1), f'(e), f'(1/e), f'(1/e2).

4.23. у = sin 4x. 4.24. у = cos (x2 – 2x + 1). 4.25. у = sin2 х. 4.26. у =. 4.27. у = tg3 х. 4.28. у = ln (x2 + ).

4.29. у = arctg . 4.30. у = ln ln x. 4.31. y = arcsin.

4.32. у = arctg2 . 4.33. у = esinx. 4.34. у = ln2 sin x.

4.35. у = xх. 4.36. у = xcosx.

Составить уравнения касательных к графикам следующих функций.

4.37. у = x2 в точке М (1, 1). 4.38. у = ln х в точке М (1, 0).

4.39. у = е2x в точке пересечения с осью Оу.

4.40. Найти угол наклона к оси Ох касательной к гиперболе у = 1 / х в точке (1, 1).

4.41. Найти приближенное приращение функций у = х2, если x = 2 и Δx = 0,01.

4.42. С помощью дифференциалов найти приближенные зна­чения: а) , б) , в) , г) , д) .

Найти производные второго порядка от функций:

4.43. у = tg х. 4.44. у = sin2 x. 4.45. у = .

4.46. у = x sin x. 4.47. у = .

Найти производные третьего порядка от функций:

4.48. у = x e-x. 4.49. у = ex sin x. 4.50. у = x ln x.

Найти производные n-го порядка от функций:

4.51. у = ln x. 4.52. у = sin 2x. 4.53. у = 3х. 4.54. у = x2 ln x. 4.55. у = х cos x. 4.56. у = x3еx.

5.l. Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций при x a есть неопределенность вида , если

Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Лопиталя*). Пусть функции f(x) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестнос­ти точки а за исключением, быть может, самой точки a. Кроме того, пусть , причем g'(х) ≠ 0 в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

* Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704).

Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если f'(x) и g'(х) удовлетворяют тем же требо­ваниям, что и исходные функции f(x) и g(х).

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда х (х ± ).