Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 22 )

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для кото­рой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Правило вычисления определителя третьего порядка следу­ющее. Это алгебраическая сумма шести тройных произведе­ний элементов, стоящих в разных строках и разных столб­цах; со знаком плюс берутся произведения, сомножители кото­рых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали; со зна­ком минус — произведения, сомножители которых стоят на не главной диагонали и в вершинах треугольников с основани­ями, параллельными этой диагонали (рис. 14). Заметим, что каждое слагаемое в формуле (14.2) содержит по одному эле­менту из каждой строки и каждого столбца соответствующей матрицы.

Рассмотрим определитель n-го порядка

Теперь с учетом подмеченных выше закономерностей перейдем к определению для общего случая.

Определение 1. Определителем матрицы А n-го порядка на­зывается алгебраическая сумма n! произведений n-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение вхо­дит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.

Основные свойства определителей

Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей.

1. Если некоторая строка или столбец определителя состо­ит из нулей, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно общему определению, в каждое из n! слагаемых обязательно войдет сомножителем элемент нуле­вой строки (нулевого столбца).

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Δn = -Δn откуда и следует, что Δn = 0.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно выне­сти за знак определителя.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) опре­делителя Δn представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых: а) все строки (столбцы), за исключением указан­ной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) определителя Δn; б) на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй определитель — вторые слагаемые данной строки (столбца) определителя Δn.

Поясним это свойство на примере определителя третьего порядка:

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы дру­гой строки (столбца), умноженные на любое число.

Это свойство является следствием свойств 3-5.

7. При транспонировании матрицы определитель не меня­ется.

Из перечисленных свойств следует, что определитель ра­вен нулю, если по крайней мере одна из его строк (столбцов) является линейной комбинацией каких-либо других его строк (столбцов). Отсюда вытекает необходимое и достаточное усло­вие равенства нулю определителя. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель n-го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент аij и вычеркнем i-ю строку и j-й стол­бец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полу­ченный определитель (n - 1)-го порядка называется минором Mij элемента aij определителя Δn.

Пример 1. Найти минор М32 определителя четвертого по­рядка

Решение. Минор М32 элемента a32 получается вычеркива­нием из данного определителя 3-й строки и 2-го столбца. По­лученный определитель 3-го порядка равен

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij определиназывается число

Так, для приведенного выше примера алгебраическое до­полнение равно

Миноры и алгебраические дополнения играют важную роль в алгебре и ее приложениях. Одним из таких применений яв­ляется основополагающая теорема о способе вычисления опре­делителей.

ТЕОРЕМА 1. Определитель равен сумме произведений эле­ментов любой строки на их алгебраические дополнения:

Формула (14.4) называется разложением определителя по i-й строке. Доказательство этой теоремы мы опускаем. Анало­гичное утверждение имеет место и для разложения определи­теля по любому столбцу.

Формула (14.4) сводит вычисление определителя n-го по­рядка к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Зная формулу (14.2) вычисления определителя 3-го порядка, мы, на­пример, можем найти определитель 4-го порядка путем разло­жения его на сумму алгебраических дополнений по формуле (14.4).

Пример 2. Вычислить определитель 4-го порядка

Решение. В принципе, разложить определитель можно по любой строке (столбцу), согласно формуле (14.4). Однако объ­ем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой побольше элементов равно нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вил

14.2. Ранг матрицы и системы векторов

1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го поряд­ка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел т и п, т. е.

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь среди этих мино­ров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 1. Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы (14.5).

Определение 2. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.

Заметим, что в общем случае у матрицы может быть не­сколько базисных миноров.

В п. 13.2 было дано определение ранга матрицы как наи­большего числа линейно независимых ее векторов-строк (стол­бцов). В курсе алгебры доказывается, что эти два определения эквивалентны. Приведенное в данном разделе определение да­ет возможность вычислять ранг матрицы, а значит, и ранг системы векторов.

Пример 1. Найти ранг матрицы размером 4 х 6:

Решение. Нетрудно видеть, что максимальный порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля, равен двум, по­скольку миноры третьего порядка должны содержать элемен­ты по крайней мере двух строк со второй по четвертую. Такие определители равны нулю либо по признаку пропорциональ­ности двух строк, либо по признаку наличия в них нулевой строки. У этой матрицы существуют три базисные строки (ли­бо 1-я и 2-я, либо 1-я и 3-я), и пять ее столбцов являются ба­зисными (либо с 1-го по 5-й, либо со 2-го по 6-й); из них и формируются все базисные миноры второго порядка.

2. Рассмотрим квадратную матрицу порядка п, т. е. когда в матрице (14.5) т = п. Как было отмечено в п. 13.2, мат­рица порядка n является вырожденной и не имеет обратной матрицы, если ее ранг r < п. Максимальный порядок минора квадратной матрицы равен n; в этом случае базисный минор равен определителю этой матрицы. Стало быть, квадратная матрица является вырожденной, если ее определитель равен нулю.

УПРАЖНЕНИЯ

14.1. Вычислить определители:

14.2. Дана матрица

Найти миноры элементов a23, a14, a34 и алгебраические допол­нения элементов a32, a43, a24.

14.3. Найти ранги следующих матриц:

14.4. Определить, являются ли зависимыми векторы 1, 2, 3: a) 1 = (2, -1, 3), 2 = (1, 4, -1), 3 = (0, -9, 5); б) 1 = (1, 2, 0), 2 = (3, -1, 1), 3 = (0, 1, 1).

14.5. Показать, что векторы 1 = (1, -1, 3), 2 = (3, -1, 1) и 3 = (0, 1, 1) образуют базис.

Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических урав­нений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

15.1. Основные понятия

Общий вид и свойства системы уравнений

Система т линейных уравнений с п неизвестными (пере­менными) x1, x2, ..., xп имеет вид

Здесь aij и bi — произвольные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2, ..., n), которые называются соответственно коэффици­ентами при неизвестных и свободными членами уравнений (15.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных озна­чает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру не­известного xi.

Решением системы уравнений (15.1) называется набор п чисел x1 = α1, x2 = α2, … , xn = αn, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (15.1) называются эквивалент­ными, если они имеют одно и то же множество решений. Эле­ментарные преобразования исходной системы приводят к эк­вивалентной системе. К элементарным преобразованиям отно­сятся:

— вычеркивание уравнения 0x1 + 0x2 + ... + 0хn = 0 — нулевой строки;

— перестановка уравнений или слагаемых aijxj в уравне­ниях;

— прибавление к обеим частям одного уравнения соответ­ственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;

— удаление уравнений, являющихся линейными комбина­циями других уравнений системы.

Последнее свойство вытекает из третьего свойства: если какое-либо уравнение представляет собой линейную комбина­цию других уравнений, то из него можно сформировать нуле­вую строку.

Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравне­ний (15.1) в матрицу

Эта матрица состоит из m строк и п столбцов и называет­ся матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных чле­нов В:

Х и В представляют собой векторы-столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее тракто­вать их именно как матрицы, состоящие соответственно из п и m строк и одного столбца.

Тогда систему линейных уравнений (15.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен т х n, а размер Х — n х 1 и, значит, произведение этих матриц имеет смысл:

Произведение матриц АХ является, как и В, матрицей-столб­цом размером т х 1, состоящей из левых частей уравнений сис­темы (15.1). Все уравнения этой системы вытекают из уравне­ния (15.3) в силу определения равенства двух матриц (п. 13.1).

Введем в рассмотрение еще одну матрицу; дополним мат­рицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размером т х (n + 1):

Матрица АВ называется расширенной матрицей системы. Эта матрица играет важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнений.

ТЕОРЕМА 1 (Кронекера-Капелли, критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу рас­ширенной матрицы системы.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

15.2. Методы решения систем линейных уравнений

Метод обратной матрицы и теорема Крамера

В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. т = n. Система уравнений имеет вид

Составим квадратную матрицу А порядка n этой системы:

1. В матричной форме система уравнений (15.5) имеет вид

где матрицы Х и В имеют размер n х 1. Пусть матрица систе­мы А является невырожденной, т. е. существует обратная мат­рица А-1. Умножив обе части этого уравнения слева на А-1, получаем решение системы (15.5) в матричной форме:

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по довольно сложным формулам. В случае когда по­рядок n матриц А и А-1 достаточно велик, вычисление обрат­ной матрицы может быть очень громоздким.

2. Другой метод решения системы уравнений (15.5) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы систе­мы А:

который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе j-й столбец на столбец свободных членов В, т. е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим Δj:

ТЕОРЕМА 2 (правило Крамера). Пусть Δ — определитель матрицы системы А, а Δj — определитель, полученный из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда если Δ ≠ 0, то система линейных уравнений (15.5) имеет единственное решение, определяемое по форму­лам

Формулы вычисления неизвестных (15.6) — решения сис­темы (15.5) — носят название формул Крамера.

Пример 1. Найти решение системы уравнений

Решение. Составим и вычислим определители системы Δ и Δj (j = x, y, z):

Определитель системы отличен от нуля, стало быть, она имеет единственное решение, которое вычисляется по форму­лам (15.6):

Решение системы общего вида

Пусть задана система линейных уравнений общего вида (15.1), где т ≤ n, т. е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Представим общий порядок решения этой системы.

1. Необходимо определить совместность системы, т. е. опре­делить сначала ранги матрицы системы А и расширенной мат­рицы AB. По теореме Кронекера-Капелли если ранги этих матриц не совпадают, то система несовместна и тогда нет смысла ее решать. Если же ранги матриц А и АB равны, то система (15.1) совместна.

Определение 1. Рангом совместной системы линейных алгеб­раических уравнений называется ранг ее матрицы.

2. Пусть система (15.1) совместна и ранг ее равен r. Вы­делим в матрице системы (15.2) некоторый базисный минор; предположим, что именно первые r строк матриц А и АB яв­ляются базисными. Тогда по теореме о базисном миноре ос­тальные строки матрицы являются линейными комбинациями остальных строк. В свою очередь это означает, что в системе (15.1) первые r уравнений, соответствующие базисным стро­кам матрицы А, являются базисными, а остальные — их ли­нейными комбинациями. Тогда эти (m — r) уравнений можно удалить из системы, причем в результате указанных элемен­тарных преобразований мы получаем эквивалентную систему:

3. Система (15.7) характерна тем, что ее ранг равен числу уравнений в ней, причем r ≤ n, т. е. ранг не превосходит числа неизвестных. Поэтому возможны два случая: либо r = n, либо r < n. В первом случае система (15.7) имеет квадратную невырожденную матрицу порядка r (см. выше) и, согласно теореме Крамера, существует единственное решение этой системы. Иными словами, если ранг системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, т. е. она является оп­ределенной.