Основы математики и ее приложения в экономическом образовании (стр. 9 )

Теперь рассмотрим примеры.

Пример 1.

Здесь мы дважды последовательно применили правило Ло­питаля, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .

Пример 2.

Пример 3.

Неопределенности вида

Будем называть отношение двух функций при х а неопределенностью вида , если , - или +. В этом случае правило Лопиталя остается справед­ливым при замене условия на условие .

Пример 4.

Пример 5.

Другие виды неопределенностей

Неопределенности вида 0 ∙ и — можно свести к неопределенностям вида и . Покажем это на примерах.

Пример 6. Найти предел x ln x.

Решение. Здесь неопределенность вида 0 ∙ . Преобразуем функцию под знаком предела: х ln х = и теперь уже имеем неопределенность вида при х 0+. Теперь, применяя правило Лопиталя, получаем

Пример 7. Найти (cosec x — ctg x).

Решение. Это неопределенность вида — . Преобразуя функцию под знаком предела, получаем

Теперь это неопределенность вида при х 0. Правило Ло­питаля дает нам

Рассмотрим неопределенности вида 00, 1, 0, возникаю­щие при вычислении пределов функций у = и(х)v(x). Неопреде­ленности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 ∙ , уже рассмотренной выше, с помощью тождественного преоб­разования

Пример 8. Найти предел .

Решение. Это предел вида 00; используя формулу (5.1), имеем с учетом решения шестого примера

Пример 9. Найти предел

Решение. Это предел вида 1. Найдем предел функции у = ctg x ln(1 + x) при x 0. В соответствии с представлением (5.1) имеем следующую цепочку равенств:

Следовательно, искомый предел равен

5.2. Формула Маклорена

Разложение функций по формуле Маклорена

Одним из основных принципов математики является пред­ставление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и является реализацией этого принципа. Любые функ­ции, дифференцируемые достаточное число раз в точке х = 0, могут быть представлены в виде многочлена некоторой степе­ни. Многочлены же являются наиболее простыми элементар­ными функциями, над которыми удобно выполнять арифмети­ческие действия, вычислять значения в любой точке и т. д.

* Колин Маклорен — шотландский математик (1698 — 1746).

Итак, функцию f(x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:

Формула (5.2) дает возможность разложить функцию f(x) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить f(x) в виде многочлена, коэффициенты ко­торого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений раз­личных функций; при этом погрешность вычислений оценива­ется по остаточному члену о(xn).

Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.

Пример 1. f(x) = еx.

Решение. Поскольку (ex)(n) = eх, f(n)(0) = е0 = 1 для любого п, формула Маклорена (5.2) имеет вид

Формула (5.3) используется для вычисления числа е с лю­бой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем при­ближенное значение числа е ≈ 2,7182

Пример 2. f(x) = sin x.

Решение. Нетрудно проверить, что f(n)(x) = sin ; отсюда имеем

Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению

Пример 3. f(x) = cos x.

Решение. По аналогии с функцией синуса имеем , откуда получаем

Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена:

Пример 4. f(x) = ln (l + х).

Решение. Так как , то f(0) = 0, ; подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению функции ln (1 +x) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

Пример 5. f(x) = (1 + x)α, где α — вещественное число.

Решение. Производная n-го порядка имеет вид f(n)(x) = α (α - 1)( α - 2)... (α - n +1)(1 + x) α-n, т. е. f(n)(0) = α (α — 1)... (α - п + 1), и формула Маклорена для данной функции такова:

В частном случае, когда α = п — целое число, имеем f(n + l) = 0 и формула (5.7) переходит в формулу бинома Нью­тона:

т. е. бином Ньютона является частным случаем формулы Мак­лорена.

Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций

Формулы (5.3)-(5.7) представляют собой асимптотичес­кие формулы (или оценки) соответственно для функций eх, sin x, cos x, ln (l + x), (1 + x) α при x 0. Аналогичные раз­ложения можно получить с использованием формулы (5.2) и для других функций. Асимптотические формулы эффективно применяются при вычислении пределов функций. Покажем это на примере.

Пример 6. Найти .

Решение. Применяя формулу (5.2) при п = 2, получаем

5.3. Исследование функций и построение графиков

Признак монотонности функции

Одной из существенных характеристик функции являет­ся ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, дока­зательство которой мы опускаем.

ТЕОРЕМА 2. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрас­тает) на этом интервале.

При f'(x) > 0 (f'(x) < 0) имеем признак строгой моно­тонности, т. е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касатель­ных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.

Точки локального экстремума

Определение 1. Точка x0 называется точкой локального мак­симума (минимума) функции f(x), если для любого х ≠ x0 в не­которой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x0) > f(х) (f(x0) < f(x)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие существования локаль­ного экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x0) = 0.

Геометрический смысл теоремы 5.3 указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а зна­чит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x0 — точка возможного экстремума, т. е. f'(x0) = 0, то она может и не быть точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x3 (рис. 3.1) производная при х = 0 равна нулю, од­нако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 5.3 не является достаточным условием существования локального экстремума.

ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие существования локаль­ного экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плю­са на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не ме­няет знака в δ-окрестности точки x0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x0.

Рассмотрим применение доказанных теорем на примерах нахождения точек локальных экстремумов функций.

Пример 1. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f(x) = х3 — 7,5x2 + 18x.

Решение. Сначала находим производную f'(x) = 3x2 — 15x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х2 — 5х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x1 = 2 и x2 = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x1 =2 меняет знак с "+" на "-", т. е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x2 = 3 функция f'(х) имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис. 5.3). Поскольку f'(x) > 0 при х (-,2), то в силу теоремы 5.2 функция монотонно возрастает на этом интер­вале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f(x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, +) функция монотонно воз­растает (f'(x) > 0).

Пример 2. Найти размеры консервной банки, имеющей форму цилиндра (радиус r и высоту h) заданного объема V, при кото­рых полная поверхность сосуда будет минимальной. Эта зада­ча имеет производственный смысл: найти оптимальные разме­ры банки, при которых затраты материала на ее изготовление будут минимальны.

Решение. Исходя из формулы объема цилиндра V = πr2h, выразим h:

Как известно, полная поверхность цилиндра дается формулой

Подставляя сюда формулу для h, получаем S как функцию от r:

Минимум этой функции найдем из условия S' (r) = 0, от­куда получаем уравнение 2r — V / π r2 = 0. Из этого уравнения находим оптимальное значение r; его подставляем в формулу для h и окончательно вычисляем оптимальные размеры банки: